🔍
Proof by induction | Sequences, series and induction | Precalculus | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
[0]
اود ان اعرف الدالة الرياضية (S(n
[5]
وسأعرفها
[6]
كمجموع الاعداد الصحيحة الموجبة
[16]
والتي تشمل الـ N
[22]
ولذلك يكون مجال الدالة الرياضية عبارة عن كل
[24]
الاعداد الصحيحة الموجبة --N يجب ان يكون عدد صحيح موجب
[28]
بالتالي يمكننا ان نجرب عدة اعداد، يمكننا
[30]
اخذ (S(3، وهذا يساوي 1 +
[35]
2 +3، اي يساوي 6. ويمكن ان نأخذ (S(4
[41]
ما يساوي 1 + 2 + 3 + 4
[46]
ويساوي 10
[51]
الآن ما اريد فعله في هذا العرض هو ان اثبت لكم انني
[57]
استطيع كتابة هذا بصورة دالة رياضية لـ N، وهي عبارة عن مجموع كل
[62]
الاعداد الصحيحة الموجبة التي تصل الى N وتشملها وتساوي
[64]
n (n + 1) / 2
[71]
والطريقة التي سأثبت بها هي الاستقراء
[76]
الاثبات عن طريق الاستقراء
[83]
استخدام طريقة الاثبات بواسطة الاستقراء يكون اولاً من خلال اثبات
[87]
حالة الاساس. هذا ما نحتاج اثباته
[96]
سنثبتها اولاً لـ 1 --والذي سيكون الاساس
[101]
ومن ثم نصل الى خطوة الاستقراء، والتي
[107]
تقول "اذا افترضنا انها تنجح لعدة
[111]
اعداد صحيحة K"، بالتالي يمكننا ان نثبت انها تنجح
[115]
للعدد الصحيح التالي، على سبيل المثال K + 1
[119]
وسبب نجاحها هو --لنفترض اننا
[121]
اثبتنا كل من هؤلاء. اذاً حالة الاساس التي سنثبتها لـ 1
[130]
لكن ليس بالضرورة ان يكون دائماً 1
[133]
فالحالة تكون صحيحة لأي عدد فوق الـ 55
[136]
او اي عدد فوق العتبة
[138]
لكن في هذه الحالة، نقول ان هذا صحيحاً لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
[141]
فالاساس يكون 1
[144]
ثم في خطوة الاستقراء، سنثبت انه اذا افترضنا ان هذا صحيحاً
[154]
لمجموع k
[157]
فاذا افترضنا هذا سيكون صحيحاً لمجموع k + 1
[162]
والسبب في ان هذا كل ما علينا فعله لاثباته لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
[168]
انه مجرد تخيل
[170]
دعونا نفكر في جميع الاعداد الصحيحة الموجبة الموجودة هنا
[172]
1, 2, 3, 4, 5, 6 ويمكنك الاستمرار
[177]
اذاً نريد ان نثبتها للـ 1
[180]
سنثبت ان هذه الصيغة الموجودة هنا
[182]
هذه العبارة الموجودة هنا يمكن تطبيقها في حالة الـ 1، اي عندما n = 1
[187]
ومن ثم سنثبت انه اذا كنا نعرف انها صحيحة لأي قيمة لـ k بالتالي تكون صحيحة للقيمة التالية
[192]
فاذا كنا نعلم انها صحيحة لـ 1 في حالة الاساس فتكون الخطوة التالية
[196]
ان خطوة الاستقراء يجب ان تكون صحيحة لـ 2 اذاً
[199]
لأنه اثبتنا بشكل عام اذا كان صحيحاً لـ k فسيكون صحيحاً لـ k + 1
[202]
وعندما يكون صحيحاً لـ 2، فسيكون صحيحاً لـ 3
[205]
لأنه عندما قمنا باثباته، عندما اوجدنا انه صحيح لـ k، فسيكون صحيح لـ k + 1
[209]
اذاً اذا كانت صحيحة لـ 2 تكون صحيحة لـ 3
[211]
واذا كانت صحيحة لـ 3 تكون صحيحة لـ 4
[214]
ويمكنك الاستمرار في هذا، ما يعني انه صحيح لكل شيئ
[217]
نتحدث الآن في العموميات دعونا نثبت هذا عن طريق الاستقراء
[223]
لنأخذ اذاً مجموع، دعونا نجري الدالة الرياضية على 1
[231]
حيث سيكون مجموع جميع الاعداد الصحيحة الموجبة
[234]
وتشمل الـ 1 حيث سيكون ناتجه 1
[236]
لقد قمنا بجمعهم، وكان الناتج 1
[238]
ولا يوجد اي عدد صحيح آخر يصل الى 1 ويشمله
[242]
والآن يمكننا ان نثبت ان هذا يعادل
[244]
1(1 + 1) / 2
[249]
1 + 1 = 2، 2 ÷ 2 = 1، 1 × 1 = 1
[254]
اذاً هذه الصيغة الموجودة هنا، هذه العبارة
[257]
تنجح لـ 1، اذاً علينا ان نثبت حالة الاساس
[263]
وقد قمنا باثباتها لـ 1
[264]
ما اربغب بفعله الآن هو انني اريد ان افترض انها تنجح لقيمة ما لـ k
[271]
اذاً سأفترض انها صحيحة لقيمة ما لـ k
[281]
اي سأفترض قيمة لـ k، بحيث ان الدالة الرياضية عند k ستساوي
[288]
2 / (k(k + 1
[292]
اذاً انا افترض انه صحيح لهذا
[294]
والآن ما ارغب بفعله هو التفكير في ما سيحدث عندما احاول ايجاد هذه الدالة الرياضية لـ k + 1
[301]
هذا ما افترضه
[303]
واعلم انني افترض
[305]
الآن دعونا نحاول تطبيقها على k + 1
[307]
اذاً ما مجموع كل الاعداد الصحيحة التي تصل الى k + 1 وتشمله
[314]
حسناً هذا يساوي 1 + 2 + 3 + جميع الاعداد حتى نصل k
[320]
+ k + 1
[323]
صحيح؟ هذا هو مجموع كل الاعداد التي تصل الى k + 1 وتشمله
[326]
حسناً نحن نفترض اننا نعلم ما هذا بالضبط
[330]
نفترض ان لدينا صيغة لهذا
[332]
نفترض ان هذا يمكن تبسيطه الى 2 / (k(k + 1
[339]
نحن نفترض اننا نعرف هذا
[341]
اذاً سنأخذ هذا الجزء وسنضيفه الى k + 1
[344]
اذاً سنضيفه الى k + 1 هنا
[350]
واذا اوجدت المقام الموحد، والذي يكون 2
[355]
اذاً هذا يساوي
[358]
سأكتب هذا الجزء باللون الارجواني
[360]
اذاً يساوي 2 / (k(k + 1) / 2+ 2(k + 1
[370]
هذا الشيئ المكتوب باللون الازرق يعادل هذا المكتوب باللون الازرق ايضاً
[373]
الـ 2 تحذف مع بعضهما، سأكتب بهذه الطريقة حتى يكون لدي المقام الموحد
[376]
اذاً هذا يساوي
[380]
لدينا مقام موحد هو 2 وسأكتب هذا بلون مختلف هنا
[385]
اذاً سيكون لدينا (k(k + 1) + 2(k + 1
[392]
الآن في هذه الخطوة يمكن استخراج العامل المشترك k + 1
[396]
كلا العبارتين تقسمان على k + 1
[399]
لنخرج العامل اذاً
[401]
اذا اخرجنا k + 1 كعامل مشترك، سنحصل على (k + 1) ×
[406]
نعيد استخراج العامل هنا، اذا استخرجنا العامل k + 1 سنحصل على k
[410]
اذا استخرجنا العامل k + 1 من هنا سنحصل على 2
[414]
دعوني الون هذا
[415]
تعلمون ما الذي افعله
[416]
اذاً هذه الـ 2 هي نفسها هذه الـ 2 الموجودة هنا وهذه الـ k هي نفسها تلك الـ k
[426]
قمنا باستخراج عاملها
[428]
هذه الـ k + 1 التي استخرجناها كعامل مشترك هي نفس هذه الـ k + 1
[432]
وكل هذا يكون مقسوماً على 2
[437]
الآن، يمكننا اعادة كتابتها. هذا يعادل
[441]
هذا يساوي
[443]
يعادل k + 1، انه هذا الجزء الموجود هنا
[451]
× k + 1 + 1
[457]
صحيح؟ وهو بكل وضوح يساوي k = 2
[459]
كل هذا مقسوماً على 2
[463]
لما يعتبر هذا مثيراً للاهتمام بالنسبة لنا؟
[466]
حسناً لقد قمنا باثباته
[467]
اذا افترضنا ان هذا صحيحاً واذا استخدمنا هذا الافتراض نحصل على
[476]
مجموع كل الاعداد الصحيحة الموجبة التي تصل الى k + 1 وتشمله حيث
/ (k + 1 = k + 1(k + 1 + 1
[485]
2
[486]
وكما رأينا بالفعل بأن الصيغة الاصلية تطبق على k + 1 ايضاً
[493]
واذا اردت اخذ k + 1 وتضعها مكان n فستحصل على الناتج الذي حصلنا عليه هنا
[500]
كما رأينا، لقد اثبتنا حالة الاساس
[504]
هذه العبارة تنجح لمجموع كل الاعداد الصحيحة الموجبة التي تصل الى 1 وتشمله
[509]
وتنجح ايضاً اذا افترضنا انها تنجح لأي عدد حتى نصل الى k
[514]
او اذا افترضنا انها تنجح للعدد الصحيح k فستنجح ايضاً للعدد الصحيح k + 1
[519]
وهكذا انتهينا. هذا هو البرهان باستخدام الاستقراء
[522]
والذي يثبت لنا انه ينجح لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
[525]
لما هذا؟
[526]
لقد قمنا باثباته للـ 1 وقمنا باثبات انه اذا ينجح لبعض الاعداد الصحيحة
[531]
فسينجح للعدد الصحيح التالي
[536]
فاذا افترضنا انه ينجح للـ 1 بالتالي يمكنه ان ينجح للـ 2
[539]
حسناً قد قمنا بالفعل باثبات نجاحه للـ 1 اذاً يمكننا ان نفترض انه ينجح للـ 1
[543]
اذاً بلا شك سينجح عند استخدام الـ 2
[545]
اذاً لقد تحققنا من الـ 2
[546]
لكن بما انه يمكننا افتراض انه ينجح للـ 2 فبالتالي يمكننا ان نفترض انه ينجح للـ 3
[550]
حسناً اذا كان ينجح للـ 4 فنكون قد اثبتنا انه ينجح للـ 4
[554]
وكما ترى فإن خطوة الاستقراء كأحجار الدومينو
[556]
انها تتوالى ويمكننا الاستمرار بها لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
Most Recent Videos:
You can go back to the homepage right here: Homepage