🔍

Covariance and the regression line | Regression | Probability and Statistics | Khan Academy - YouTube

Channel: Khan Academy

[1]

С това видео искам да ви запозная

[4]

с идеята за ковариация

[8]

между две случайни променливи или

[12]

по-точно произведението от разстоянията

[15]

на всяка от случайните променлива до нейната средна стойност

[20]

или до нейното математическо очакване.

[23]

Нека запиша това.

[24]

Първо имам Х – ще го направя в друг цвят.

[28]

Това е стойността на случайната променлива Х

[30]

минус математическото очакване на Х. Можеш да гледаш на това като на

[34]

средната стойност на генералната съвкупност на Х, умножена...

[38]

после това е случайна променлива Y...

[40]

по разстоянието от Y до нейното математическо очакване

[45]

ли до средната стойност на Y за генералната съвкупност.

[53]

Ако не ти се вижда логично засега,

[55]

човек винаги може да си го представи

[57]

като някаква игра с някои числа.

[61]

Но в реалността то казва колко много те се различават взаимно.

[64]

Винаги взимаш Х и Y за всяка от точките с данни.

[68]

Да кажем, че имаме цялата генерална съвкупност.

[70]

Всяко Х и Y, които са свързани

[73]

помежду си, това са координатите, които поставяш тук.

[76]

Да кажем, че Х е над средната стойност,

[80]

а Y е под средната стойност.

[82]

Да кажем това за генералната съвкупност, която имаш.

[85]

Един пример за случайните променливи,

[88]

вадиш една извадка от Вселената

[90]

и получаваш, че Х = 1 и Y е...

[97]

да кажем, че е Y = 3.

[100]

Да кажем, че предварително знаем,

[103]

че прогнозираната стойност на Х е 0.

[107]

Да кажем, че прогнозираната стойност на Y е равна на 4.

[113]

Какво се случва в тази ситуация?

[115]

Сега не знаем цялата ковариация,

[117]

имаме само една извадка на тази случайна променлива.

[122]

Но какво се случва тук?

[123]

Имаме едно минус...

[124]

няма да пресметнем цялата прогнозирана стойност,

[127]

искам само да пресметнем какво се случва,

[129]

когато извършим действията вътре в прогнозираната стойност.

[132]

Ще имаме 1 минус 0, така че 1 по (3 – 4) по –1.

[140]

Ще имаш 1 по –1, което е –1.

[143]

Какво ни казва това?

[145]

Казва ни, поне за тази извадка, този път,

[148]

когато извадихме случайните променливи Х и Y,

[151]

Х беше над прогнозираната си стойност, когато

[155]

Y беше под прогнозираната си стойност.

[158]

Ако продължим да правим това, да кажем, за цялата генерална съвкупност,

[161]

тогава би било логично, че те ще

[162]

имат отрицателна ковариация.

[165]

Когато едната се покачи, другата намалява.

[167]

Когато едната намалее, другата се покачва.

[169]

Ако и двете се покачваха, щяха да

[171]

имат положителна ковариация, или ако и двете се понижаваха.

[174]

Степента, до която правят това заедно,

[176]

ще ти каже степента на ковариацията.

[179]

Да се надяваме, че това ти показва логиката на

[181]

това, което ковариацията се опитва да ни каже.

[183]

Но по-важното нещо, което искам да направя в това видео,

[185]

е да свържа тази формула.

[188]

Искам да свържа тази дефиниция за ковариацията, с всичко, което

[191]

сме правили при определяне на регресия по метода на най-малките квадрати.

[193]

Това е един вид математическо забавление –

[195]

показването на всички тези връзки

[199]

и къде дефиницията на ковариацията

[201]

наистина става полезна.

[203]

Мисля, че това се определя до голяма степен от

[205]

мястото, където се появяват в регресиите.

[207]

Всичко това вече един вид

[209]

сме го виждали преди, просто ще го видиш по различен начин.

[212]

В цялото това видео просто ще

[216]

преработя тази дефиниция за ковариацията ето тук.

[220]

Това ще е същото нещо като

[224]

математическото очакване на...

[228]

и ще умножа тези два бинома тук.

[231]

Математическото очакване на случайната променлива Х

[235]

по случайната променлива Y минус –

[241]

ще направя първо Х.

[242]

Плюс Х по отрицателната стойност на математическото очакване на Y.

[246]

Просто ще кажа минус Х по математическото очакване на Y.

[258]

Този отрицателен знак идва от този отрицателен знак ето тук.

[261]

После имаме минус математическото очакване на Х по Y...

[271]

Просто разкриваме скобите и умножаваме.

[273]

И после, най-накрая, е отрицателната стойност математическото очакване на Х

[275]

по отрицателната стойност на математическото очакване на Y.

[277]

Отрицателните знаци взаимно се изключват.

[279]

Просто ще имаш плюс математическото очакване на Х

[285]

по математическото очакване на Y.

[292]

И, разбира се,

[293]

това е математическото очакване на цялото това нещо.

[299]

Нека да видим можем ли да запишем това по различен начин.

[301]

математическото очакване на сбора

[302]

на група случайни променливи или сбора и разликата

[306]

на група случайни променливи, това е сборът или разликата

[309]

на техните математически очаквания.

[310]

Това ще е същото нещо.

[313]

Помни, на математическото очакване, при много контексти,

[315]

можеш да гледаш като на аритметичната средна стойност.

[317]

Или, при непрекъснато разпределение,

[319]

можеш да гледаш на нея като вероятностно претеглена сума,

[321]

или вероятностно претеглен интеграл.

[324]

Мисля, че сме виждали това преди.

[326]

Нека преобразувам това.

[327]

Това е равно на математическото очакване на случайните променливи

[331]

Х и Y. X умножено по Y. Опитвам се да ги правя в съответни цветове.

[338]

После имаме минус Х по математическото очакване на Y.

[342]

После ще имаме минус математическото очакване на Х

[349]

по математическото очакване на Y.

[363]

После ще имаш минус математическото очакване

[366]

на това, ще затворя тази скоба,

[371]

на това нещо ето тук.

[372]

Математическо очакване на Х по Y.

[377]

Знам, че това може да изглежда объркващо с всички тези

[379]

поставени в скоби математически очаквания.

[381]

Но един начин да си го представиш е като мислиш, че тези неща (Е-тата)

[383]

вече имат стойности за математическото очакване

[384]

и можеш да гледаш на тях като на числа.

[385]

Вече ги използвахме.

[387]

Ще ги махнем от математическото очакване ,

[389]

понеже математическото очакване на едно математическото очакване

[391]

е същото нещо като самото математическото очакване.

[393]

Нека запиша това тук, за да си го припомняме.

[395]

Математическото очакване на математическото очакване на Х ще е

[401]

равна на математическото очакване на Х. Представяй си го по този начин.

[408]

Можеш да гледаш на това като на средна стойност на

[409]

генералната съвкупност за случайната променлива.

[411]

Това ще е известен факт, той фигурира

[413]

във Вселената.

[414]

Математическото очакване от това ще бъде равно на самото математическо очакване.

[419]

Ако средната стойност на генералната съвкупност или математическото очакване е на Х е 5 –

[423]

това е все едно да кажем, че математическото очакване е 5.

[425]

Математическото очакване от 5 ще

[427]

бъде 5, което е същото нещо кавото е математическото очакване на Х.

[430]

Надявам се, че това ти звучи логично, ще

[431]

го използваме след малко.

[432]

Почти сме готови.

[433]

Намерихме математическото очакване на това и ни остава един член.

[436]

Последният член е математическо очакване на ето това.

[439]

Тук можем да използваме свойството от самото начало.

[441]

Ще го запиша.

[442]

математическо очакване на (слагам големи скоби) на това нещо тук.

[448]

Математическото очакване на Х по математическото очакване на Y.

[457]

Да видим дали можем да опростим това още тук.

[459]

Това ще е математическо очакване на

[461]

произведението на тези две случайни променливи.

[464]

Ще го оставя както си е.

[466]

Просто ще замразя нещата, които

[467]

ще оставя както са си.

[470]

Прогнозираната стойност на XY.

[474]

Какво имаме тук?

[476]

Имаме математическо очакване на Х по Y –

[479]

отново, можеш да гледаш на това като на ...

[480]

ако се върнеш към това, което току-що казахме,

[482]

това ще е число, математическото очакване на Y,

[485]

така че можем да премахнем това.

[486]

Ако това беше математическото очакване на 3Х,

[488]

това би било същото нещо като 3 по математическото очакване на Х.

[490]

Можем да препишем това като отрицателна стойност на математическото очакване на Y

[498]

по математическото очакване на Х. Можеш да гледаш на това, все едно

[505]

сме го извадили от математическото очакване,

[507]

не сме го включили в изчислението.

[509]

Ето така.

[511]

После имаш минус.

[513]

Същото нещо и тук.

[514]

Можеш да не взимаш предвид това математическото очакване

[516]

на Х. Минус математическото очакване на Х по математическото очакване

[522]

на Y. Това става объркващо с всички

[533]

тези Е-та, които имаме.

[535]

Последно, математическото очакване

[537]

на това нещо, на две математически очаквания,

[539]

това просто ще е произведението от тези две

[540]

математически очаквания.

[541]

Това ще е плюс

[543]

математическото очакване на Х по

[551]

математическото очакване на Y.

[555]

Какво имаме тук?

[556]

Имаме математическото очакване на Y по математическото очакване на Х.

[560]

После изваждаме математическото очакване

[563]

на Х по математическото очакване на Y.

[565]

Тези две неща са абсолютно еднакви.

[568]

Това ще е – всъщност, погледни това.

[570]

Изваждаме го два пъти и после имаме още веднъж.

[573]

Всичко това е едно и също нещо.

[575]

Това е математическото очакване на Y по математическото очакване на Х.

[578]

Това е математическото очакване на Y по математическото очакване на Х,

[581]

но просто записано в различен ред.

[582]

Това е прогнозираната стойност на Y по прогнозираната стойност на Х.

[587]

Изваждаме това два пъти и после го събираме.

[589]

Можем да си представим, че това и това

[593]

ще се изключат взаимно.

[593]

Можеш също да избереш това и това.

[596]

Но какво имаме отляво?

[597]

Имаме ковариацията на тези две случайни променливи

[599]

Х и Y, която е равна на математическото очакване на...

[602]

ще премина отново към моите цветове, понеже това

[604]

е крайният резултат. Математическото очакване на Х ...

[609]

математическото очакване на произведението на XY минус...

[622]

колко е това?

[623]

математическото очакване на Y по математическото очакване на Х.

[634]

Можеш да пресметнеш тези математически очаквания,

[637]

ако знаеш всичко за вероятностното разпределение

[640]

или функциите на плътността за всяка от тези случайни променливи.

[642]

Или, ако имаше цялата генерална съвкупност,

[644]

от която правиш извадки, всеки път

[645]

търсиш доказателство за стойностите на тези случайни променливи.

[647]

Но нека да кажем, че имаше само една извадка

[649]

на тези случайни променливи.

[650]

Как ще ги изчислиш?

[654]

Ако изчисляваш математическото очакване на...

[658]

да кажем, че имаш група точки,

[660]

няколко координати.

[661]

Мисля, че ще започнеш да забелязваш как това е свързано

[663]

с онова, което правим при регресия.

[667]

Математическото очакване на Х по Y, това

[671]

може приблизително да бъде изчислено чрез средната стойност на извадката

[674]

на резултатите от Х и Y.

[675]

Това ще е средната стойност на извадката за Х по Y.

[679]

Взимаш всяка от двойките XY,

[681]

пресмяташ тяхното произведение и после взимаш средната стойност от всички тях.

[684]

Това е произведението на Х и Y.

[686]

После, това нещо тук,

[688]

математическото очакване на Y, може да бъде приблизително изчислено като

[693]

средна стойност на извадката за Y, а математическото очакване на Х

[695]

може да бъде приблизително изчислено като средната стойност на извадката за Х.

[698]

С какво може да бъде приблизително изчислена ковариацията на

[702]

две случайни променливи?

[704]

С какво може да бъде приблизително изчислена?

[705]

Това тук е средната стойност на тяхното произведение за

[712]

извадката минус средната стойност на Y от извадката по

[719]

средната стойност на Х от извадката.

[724]

Това трябва да започне да ти изглежда познато.

[726]

Но защо, какво е това?

[730]

Това беше числителят.

[732]

Това тук е числителят, когато

[736]

опитвахме да намерим наклона (ъгловия коефициент) на тази линия на регресия.

[739]

Когато опитахме да открием наклона (ъгловия коефициент) на линията

[742]

на регресия, имахме – нека препиша формулата тук,

[745]

за да ти припомня – това буквално беше средната стойност от произведенията

[750]

за всяка от нашите точки , или всички XY,

[754]

минус средната стойност на всички Y по

[756]

средната стойност на всички Х.

[758]

Всичко това върху средната стойност на всички Х на квадрат.

[763]

Можеш да гледаш на това като –

[765]

върху средната стойност на Х по всички Х.

[768]

Но мога да го запиша просто като Х на квадрат.

[772]

Минус средната стойност на Х на квадрат.

[779]

Така намерихме наклона (ъгловия коефициент) на нашата линия на регресия.

[782]

Може би по-добър начин да си го представим, е

[784]

да приемем, че в нашата линия на регресия,

[786]

точките, които имаме, са

[788]

извадка от цяла вселена от вероятни точки,

[792]

тогава можеш да кажеш, че приблизително изчисляваме

[795]

наклона (ъгловия коефициент) на нашата линия на регресия.

[796]

Може да видиш този малък диакритичен знак, който прилича на шапка, в много книги.

[799]

Не искам да се объркаш.

[800]

Той показва, че приблизително изчисляваш линията на регресия

[803]

на генералната съвкупност от една нейна извадка.

[807]

Ето тук – всичко,

[809]

което сме научили сега , това е ковариацията

[811]

или това е оценка на ковариацията на Х и Y.

[817]

Какво е това тук?

[818]

Както току-що казах, можеш да преработиш

[820]

това много лесно, като тази долна част тук,

[823]

можеш да запишеш това като средната стойност на Х по Х,

[827]

което е просто Х^2, минус средната стойност

[831]

на Х по средната стойност на Х.

[833]

Това всъщност е средната стойност на Х, повдигната на квадрат.

[835]

Какво е това?

[836]

Можеш да гледаш на това като ковариацията на Х с Х.

[843]

Но вече сме го виждали.

[845]

Показах ти го преди много,

[847]

много видеа, когато за пръв път учехме какво е това.

[849]

Ковариацията на случайна променлива със самата нея

[852]

е всъщност просто вариацията на тази случайна променлива.

[858]

Можеш самостоятелно да се увериш в това.

[860]

Ако замениш това Y с Х (сочи формулата за Cov(X,Y)), това

[863]

става Х минус математическото очакване на Х,

[865]

по Х минус математическото очакване на Х.

[868]

Това е математическото очакване на Х

[870]

минус математическото очакване на Х на квадрат.

[872]

Това е дефиницията за вариация.

[875]

Друг начин да мислиш за наклона (ъгловия коефициент) на нашата линия

[879]

на регресия, той може буквално да се каже, че е ковариацията на нашите две

[885]

случайни променливи върху вариацията на Х.

[893]

Или можеш да гледаш на него като независимата случайна

[895]

променлива.

[896]

Това тук е наклонът (ъгловия коефициент) на нашата линия на регресия.

[899]

Мисля, че това беше интересно.

[901]

Исках да свържа нещата,

[902]

които виждаш в различни части от статистиката

[904]

и да ти покажа, че те наистина са свързани.

Most Recent Videos:

WE KILLED 6 HEROIC BOSSES! - YouTube

¿Quién inventó el dinero? - YouTube

Cuándo se inventó el dinero y cómo el dólar se convirtió en la principal moneda del mundo - YouTube

This Citizenship Program is Failing - YouTube

Candida Treatment Protocol w/ Dr. DiNezza - YouTube

$500M investor reacts to Real Estate Tik Toks 2 - YouTube

You can go back to the homepage right here: Homepage