🔍

Example: Graph, domain, and range of sine function | Trigonometry | Khan Academy - YouTube

Channel: Khan Academy

[0]

Питат ни какви са дефиниционното и функционалното

[4]

множества (ДМ и ФМ) на функцията синус.

[6]

За да помислим върху това, нека първо начертаем графиката на функцията синус.

[11]

И тук, от лявата страна, имам единична окръжност.

[15]

Нека я съкратя малко.

[18]

Това място не ми трябва, затова нека го изтрия.

[21]

Така, от лявата страна имам единична окръжност

[24]

и ще я използвам, за да намеря стойността на синус от тита

[28]

за даден ъгъл тита.

[30]

На единичната окръжност това е оста х, а това е оста у.

[35]

Можем да го разгледаме и по друг начин.

[37]

Можем да използваме х и у и за даден ъгъл тита

[40]

да видим къде горната страна на ъгъла пресича единичната окръжност.

[44]

Координатата у на тази точка ще бъде синус от тита.

[49]

На тази графика у отново ще е вертикалната ми ос,

[54]

но ще начертая графиката на у, равно на синус от тита.

[61]

А по хоризонталната ос няма да нанеса х, а ъгъл тита.

[67]

Можем да разглеждаме тита като независима променлива,

[69]

И тита ще е в радиани.

[73]

В общи линии ще вземем няколко ъгъла тита,

[76]

ще намерим синусите им и ще ги нанесем на графиката.

[80]

Нека си направим малка таблица.

[87]

Тук имам тита,

[89]

а тук ще записваме синус от тита.

[94]

Можем да вземем няколко стойности на тита.

[97]

Нека започнем с нула. Какъв ще е синус от тита тогава?

[106]

Когато ъгълът е 0, пресичаме единичната окръжност ето тук –

[111]

координатата у е 0 – това е точката (1;0).

[117]

Координатата у е 0, значи и синус от тита е 0.

[120]

Можем да кажем, че синус от 0 е равно на 0.

[127]

Сега, нека опитаме с тита, равно на π/2.

[134]

Започвам с тези стойности, които се откриват лесно.

[137]

Така, тита е равно на π/2.

[139]

Това е същото като ъгъл от 90 градуса.

[140]

Следователно горната му страна ще бъде точно по оста у.

[144]

Ето така. И пресича единичната окръжност ето тук.

[152]

И каква е тази точка?

[153]

Това е точката (0;1).

[157]

Колко ще е синус от π/2 тогава?

[161]

Ами, това е просто координатата у ето тук –

[165]

това е стойността 1.

[167]

Синус от π/2 е 1.

[168]

Нека продължим и може би ще забележиш закономерност тук.

[171]

Ще продължим да се движим около окръжността.

[173]

Нека помислим какво се случва, когато тита е равен на π.

[179]

Колко е синус от π?

[182]

Пресичаме окръжността ето тук,

[186]

координатите са (-1;0).

[189]

Синусът е координатата у, значи ето тук е

[193]

синус от π; синус от π е 0.

[196]

Да вземем 3π/2.

[202]

Сега сме изминали 3/4 от окръжността

[208]

и горната страна на ъгъла пресича единичната окръжност ето тук.

[213]

Като гледаме това, колко е синус от 3π/2?

[218]

Тази точка тук е (0;-1).

[226]

Синус от тита е същото като координатата у

[229]

или координатата у е синус от тита.

[231]

Следователно когато тита е 3π/2, синус от тита е -1.

[240]

И нека направим пълен кръг.

[244]

Да отидем до тита, равно на 2π. Тук ще използвам жълто.

[251]

Какво става, когато тита е равно на 2π?

[253]

Ами, тогава сме обиколили цялата окръжност

[256]

и сме там, откъдето започнахме.

[258]

Координатата у е 0, значи синус от 2π отново е 0.

[264]

Ако продължим по този начин, ще забележим,

[266]

че увеличавайки ъгъла, получаваме закономерност.

[270]

Да опитаме да нанесем това на графиката.

[272]

Така, когато тита е равно на 0, синус от тита е 0.

[277]

Когато тита е π/2, синус от тита е 1.

[287]

Използваме същия мащаб. Синус от тита е 1.

[295]

Това е 1 и на тази, и на онази ос.

[298]

Тук може би ще видим аналогия.

[300]

Когато тита е равно на π, синус от тита е 0.

[309]

Връщаме се тук.

[311]

Когато тита е равно на 3π/2,

[314]

това ще е ето тук,

[316]

3π/2, синус от тита е минус 1.

[321]

Значи това тук е минус 1.

[323]

Ще използвам същия мащаб, ще направя

[325]

това минус 1, синус от тита е минус 1.

[333]

И после, когато тита е 2π, синус от тита е 0.

[344]

Сега можем да свържем точките.

[346]

Може да опиташ и с междинни точки.

[348]

Ще получим графика, която изглежда така.

[353]

Чертая я възможно най-добре, изглежда горе-долу така.

[360]

Има причина подобни криви да се наричат "синусоиди".

[363]

Защото представляват графиката на функцията синус.

[368]

Но това не е цялата графика, можем да продължим.

[370]

Можем да добавим още π/2.

[372]

Ако отидем при π/2 и добавим още едно π/2,

[377]

можем да разглеждаме това като 2 и 1/2 π, ако искаме.

[380]

Това ще ни върне тук.

[382]

Ще се върнем при синус от тита е равно на 1.

[386]

Ще се върнем при ето тази точка

[388]

и можем да продължим – да добавим още π/2.

[391]

Ще се върнем до тази точка и ще сме ето тук.

[393]

И така, кривата или графиката на синус от тита е точно

[397]

определена за всяка реална стойност на тита, която изберем.

[404]

А какво става с отрицателните числа?

[406]

Очевидно, ако продължаваме да увеличаваме тита по този начин,

[408]

продължаваме да обикаляме около окръжността

[410]

и се появява тази закономерност.

[412]

Но какво ще стане ако отидем в отрицателна посока?

[414]

Нека опитаме.

[415]

Какво ще стане, ако вземем минус π/2?

[419]

Ще го направя.

[422]

Така, -π/2 ще бъде ето тук.

[427]

Пресичаме единичната окръжност тук.

[430]

Координатата у е минус 1.

[433]

Следователно синус от минус π/2 е минус 1.

[436]

Виждаме, че графиката продължава аналогично.

[439]

Следователно синус от тита е определен за всеки положителен,

[442]

отрицателен или какъвто и да е ъгъл тита.

[445]

Положителен, отрицателен, неотрицателен, нула, какъвто и да е.

[448]

Винаги е определен.

[450]

Нека се върнем към въпроса.

[453]

Мога да продължа да си чертая тази графика,

[455]

но нека се върнем на въпроса.

[457]

Какво е дефиниционното множество (ДМ) на синус функцията?

[468]

Напомням, че дефиниционното множество са всички аргументи,

[472]

за които функцията е дефинирана или за които

[474]

функцията ще изведе валиден отговор.

[478]

Какво е дефиниционното множество тук тогава?

[482]

Всъщност вече го определихме.

[484]

Можем да сложим каквото и да е тита тук.

[486]

Можем да кажем, че ДМ са всички реални числа.

[498]

Ами функционалното множество (ФМ)?

[506]

Да преговорим, че ФМ, което понякога се нарича

[509]

"образ" в по-техническите часове по математика,

[512]

е множеството на всички стойности, които функцията може да приеме.

[516]

В нашия случай кое е ФМ?

[519]

Кои са всички стойности, които 'у, равно на синус от тита', може да приеме?

[523]

Ами, виждаме, че се движим от плюс едно до минус едно

[532]

и после пак от плюс едно до минус едно.

[535]

Функцията приема всички стойности между двете.

[537]

Виждаме, че синус от тита винаги ще е по-малко или равно на 1

[543]

и винаги ще е по-голямо или равно на минус 1.

[547]

Следователно можем да кажем, че ФМ на синус от тита

[550]

е множеството от всички числа между минус 1 и плюс 1,

[554]

като включваме минус 1 и 1 –

[557]

затова слагаме квадратни скоби.

Most Recent Videos:

WE KILLED 6 HEROIC BOSSES! - YouTube

¿Quién inventó el dinero? - YouTube

Cuándo se inventó el dinero y cómo el dólar se convirtió en la principal moneda del mundo - YouTube

This Citizenship Program is Failing - YouTube

Candida Treatment Protocol w/ Dr. DiNezza - YouTube

$500M investor reacts to Real Estate Tik Toks 2 - YouTube

You can go back to the homepage right here: Homepage