Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy - YouTube

Në këtë video do të ju familjarizoj më idenë e limitit, e cila është shumë e rëndësishme.

në të vërtetë është ideja mbi të cilën bazohet e tërë analiza matematikore

Por, përkundër të qenit kaq super e rëndësishme, në të vërtetë është ide mjaft e thjeshtë.

Prandaj, le të vizatoj një funksion këtu - në të vërtetë, le të definoj një funksion

Një funksion të thjeshtë. Pra, le të definojmë f(x) - le të themi që f(x) do të jetë (x-1)/(x-1)

Dhe ju mund të thoni, " Hej Sal, shiko, kam të njëjtën gjë si tek numëruesi ashtu edhe tek emëruesi.

Nëse pjestojmë një gjë me vetveten, atëherë ajo do të jetë e barabartë me një! A nuk mundem të thjeshtoj këtë në f(x) =1?"

Dhe unë them, "Paj, është pothuajse e saktë, ndryshimi në mes të f(x) = 1 dhe kësaj këtu

është që kjo këtu është e padefinuar kur x=1. Kështuqë, nëse vendosni - do ta shkruaj këtu - nëse keni

f(1), cfare ndodh? Tek numëruesi, do të merrni (1-1), e cila është ... do ta shkruaj këtu ...

tek numëruesi do të keni 0, dhe tek emëruesi do të keni (1-1), e cila poashtu është zero. Dhe cdo gjë e pjestuar me

0, duke përfshirë edhe 0/0, është e padefinuar. Prandaj duhet të thjeshtojmë - mund të thoni që kjo është

e njëjta gjë sikurse f(x) = 1, por duhet të keni parasysh që x nuk mund të jetë i barabartë me 1. Tani kjo

dhe kjo janë ekuivalente. Që të dy këto do të jenë të barabarta me 1, për të gjithë x-at të ndryshëm nga 1. Por

tek x=1, është e padefinuar. Kjo është e padefinuar edhe kjo është e padefinuar. Pra, si do të paraqes grafikun e këtij funksioni?

Do të paraqes atë grafikisht ... Ky është boshti im y=f(x), dhe kjo këtu është boshti im x, dhe pastaj le të themi

që kjo është pika x=1, kjo këtu do të jetë x=-1, kjo është y=1, ja këtu mund të vendos -1 por

nuk paraqet kushedi se cka në lidhje me këtë funksion, dhe le ta paraqesim grafikisht. Pra, është themelore për

cdo x të ndryshëm nga 1, f(x) =1. Pra, do të duket dicka kështu ... përvec tek 1. Në 1, f(x) është i padefinuar, prandaj

do të vendos një vrimë këtu, këtë rreth, që tregon se ky funksion

nuk është i definuar - nuk e dimë se si është funksioni në 1, asnjëherë nuk e kemi definuar atë.

Ky definicion i funksionit nuk na tregon se cfarë të bëjmë tek 1 - është thjeshtë e padefinuar kur x=1.

Pra ky është funksioni këtu, dhe edhe njëherë, nëse dikush do të ju pyeste se cfarë është f(1), ju do të ...

le të themi, ky është definicioni i funksionit, do të merrni x=1. Oh prit, ka një vrimë në funksionin tim

ja këtu, është i padefinuar. Do ta shkruaj edhe njëherë ... mirë, është pak e tepërt por do ta rishkruaj.

f(1) është i padefinuar. Por cka nëse do t'ju pyesja, kujt po i afrohet funksioni

kur x=1? Dhe tani, kjo po ia fillon që të prek idenë e limiti. Pra, kur x shkon afër e më afër tek 1 ...

kujt i afrohet funksioni? Pra, e gjithë kjo kohë, kujt i afrohet?

Në të majtë, s'ka rëndësi se sa afër 1 jeni, përderisa nuk jeni në 1, f(x) = 1.

Këtu, nga ana e djathtë, marrim të njëjtën gjë. Prandaj mund të thoni - dhe do të jeni

më tepër të familjarizuar me këtë ide sa më shumë shembuj që të punojmë - që limiti i x

(dhe lim, shkurt për limit) - kur x i afrohet 1 të f(x) është i barabartë me ...

Sa më shumë që të afrohemi do të jemi pabesueshëm, pafundësisht afër 1, përderisa nuk jemi tek 1 ...

Dhe funksioni ynë do të jetë i barabartë me 1, sepse shkon afër e më afër 1-shit,

në të vërtetë është tek 1 gjatë gjithë kohës. Kështu, në këtë rast, mund të themi që limiti kur x i afrohet 1 i funksionit f(x)

është 1. Edhe njëherë, ka një shënim paksa luksoz, do të themi, "Shiko, kujt i afrohet funksioni

kur x përafrohet me 1?"

Do të bëj edhe një shembull tjetër kur kemi të bëjmë me lakore, ashtu që të keni idenë e përgjithshme.

Le të themi që, kemi funksionin f(x) - le të, për hir të llojllojshmërisë, le ta shënojmë me g(x).

Le të themi që g(x) është i barabartë me - mund ta definoj në këtë mënyrë, mund ta definojme si x²

kur x nuk është i barabartë me 2, dhe le të themi që kur x=2, ai është i barabartë me 1. Edhe njëherë, një funksion paksa

interesant që - sic po shihni - nuk është plotësisht i vazhdueshëm. Ka ndërprerje. Le ta paraqes grafikun e tij.

Pra, ky është boshti im y=f(x), dhe ky po këtu është boshti x. Le të themi që x=1, këtu është x=2,

kjo është -1, kjo është -2 ... Pra kudo, përvec x=2, është i barabartë me x². Le ta vizatoj kështu,

kjo do të jetë parabolë, duket dicka kështu ... do të duket dicka ...

Do të vizatoj një verzion më të mirë të parabolës. Pra duket dicka kështu, jo parabola më e bukur e vizatuar

në historinë e vizatimeve të parabolave, por mendoj që ju mjafton për të pasur idenë se si duket parabola,

shpresoj. Duhet të jetë simetrike ... Do ta rivizatoj, sepse po duket e shëmtuar.

Kjo duket më mirë, mirë, ja ku është. Mirë.

Tani, ky duhet të jetë grafiku i vetëm x², por jo i x² kur x=2. Edhe njëherë, kur x=2,

duhet të kemi një pak ndërprerje këtu, prandaj do të vizatoj një vrimë ja këtu,

sepse kur x=2, funksioni është i barabartë me 1.

Nuk po i bëj në të njëjtin shkallëzim ... Në grafikun e f(x) = x² kjo do të jetë 4, kjo do të jetë 2,

kjo do të jetë 1, kjo do të jetë 3. Pra, x=2, funksioni ynë është i barabartë me 1.

Pra ky është një funksion pak i cuditshëm, por do të mund ta definoni në këtë mënyrë, mund të definoni një funksion sido

që të keni dëshirë ta definoni atë! Dhe kështu, vini re, është sikurse grafiku i f(x) = x² përveq kur arrini tek 2,

këtu ka një vrimë, sepse ju nuk do të përdorni "g(x) =x² kur x=2", ju përdorni "g(x) = 1".

Nëse kam qenë duke përdorur f(x), kërkoj falje.

përdorni g(x) = 1, ashtu që saktësisht tek 2, zbret poshtë tek 1, dhe më pas vazhdon nëpër x².

Pra, janë dy gjëra. Nëse do të vlerësoja vetëm funksionin - g(2),

shikoni këtë definicion. Mirë, kur x=2, përdor këtë situatë këtu,

dhe kjo më thotë që do të jetë e barabartë me 1. Do t'ju bëj një pyetje interesante, apo ndoshta një

pyetje më interesante. Cili është limiti kur x i afrohet 2 të g(x)? Edhe njëherë, shënim luksoz, por

po pyet dicka mjaft mjaft të thjeshtë. Po thotë "kur x shkon afër dhe më afër tek 2 ...

derisa afrohesh shumë e më shumë - dhe ky nuk është ndonjë definicion rigoroz, atë do ta japim në videot e ardhshme -

kur x i afrohet shumë e më shumë tek 2, kujt i afrohet g(x)? Pra nëse arrini tek 1.9, e më pas tek 1.999, dhe më pas tek 1.999999

dhe më pas tek 1.9999999, kujt i afrohet g(x)? Nëse shkoni nga drejtimi pozitiv,

sikur të marrim 2.1, sa është g(2.1)? Sa është g(2.01)? Sa është g(2.001)?

Kujt i afrohet sa më afër që të jemi?

Dhe këtë mund ta shihni edhe vizuelisht vetëm duke vizatuar grafikun e tij. Përderisa g afrohet shumë e më shumë tek 2 ...

Dhe nëse do ta përcjellim atë përgjatë grafikut, shohim se po i afrohemi 4,

edhe pse funksioni nuk është aty - funksioni zbret tek 1 - limiti i g(x) kur

x i afrohet 2 është i barabartë me 4. Këtë mund ta bëni edhe numerikisht përmes kalkulatorit

Dhe do ta bëj, sepse mendoj që do të jetë interesante. Të marr një kalkulator ...

Të marr të besueshmin tim TI-85 ... ja kalkulatori im ... Mund të thuani numerikisht,

mirë, kujt do t'i afrohet kur i afrohemi x=2? Le të provojmë për 1.9, për x=1.9, do të marrim këtë pikë,

mu këtu. Kështu, pra 1.9², do të marrim 3.61.

E cka nëse i afrohemi 2? Pra, 1.99, edhe njëherë le ta ngrisim në katror,

jam tek 3.96. E cka nëse e marr 1.999 dhe e ngris atë në katror?

Do të marr 3.996. E vëreni, po i afrohem shumë e më shumë pikës sonë.

Nëse i afrohemi mjaft - 1.999999999999²? Cka do të marr? Nuk do të jetë

saktësisht 4 - ky kalkulator sapo rrumbullaksoi numrin - sepse do të marrim një numër që është mjaft mjaft

mjaft afër 4. Poashtu do të mund të bëjmë dicka nga ana pozitive, dhe do të duhet

të jetë i njëjti numër kur shqyrtojmë nga poshtë,

dhe nga lart. Pra nëse provojmë 2.1², do të marrim 4.4 ...

Po shkoj disa hapa më përpara ...

2.0001². Tani, kjo është mjaft afër me 2. Tani jemi duke u afruar mjaft tek 4.

Prandaj, sa më afër të jemi me 2, aq më afër duket që po arrijmë tek 4.

Pra, edhe njëherë kjo është mënyra numërike e të shikuarit se limit kur x i afrohet 2 nga cilado anë

e g(x) - edhe pse tek 2 funksioni është i barabartë me 1, sepse është i jovazhdueshëm -

limiti kur i afrohemi 2, jemi afër e më afër tek 4.