🔍
Coin flipping probability | Probability and Statistics | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
[0]
Ще решим някои интересни задачи
[3]
и едно от нещата, които
[4]
ще видим при вероятностите,
е фактът, че
[5]
винаги можем да решим
някоя по-интересна задача.
[7]
Сега ще помислим за това:
[9]
ще взема една обикновена балансирана монета
[11]
и ще я подхвърля три пъти.
[12]
Целта ми е да намеря вероятността
[15]
да се падне поне едно ези.
[17]
Поне едно ези от трите хвърляния.
[23]
Най-лесният начин, по който
можем да направим това, е
[26]
да намерим броя на еднакво
възможните вероятности.
[28]
А миналия път видяхме, че
[30]
ако 3 пъти хвърлим една монета,
налице са 8 възможности.
[34]
За първото хвърляне
възможностите са две.
[38]
При второто хвърляне
отново има две възможности.
[40]
И при третото хвърляне
има две възможности.
[41]
Т.е. броят е 2х2х2 –
[43]
има осем варианта, които
са еднакво вероятни,
[47]
ако подхвърля една монета 3 пъти.
[49]
При колко от тези варианти
има поне едно ези?
[53]
Вече описахме всички
варианти ето тук,
[55]
така че остана само да броим –
[56]
при колко от тези се е паднало
поне едно ези?
[58]
Имаме едно, две, три,
четири, пет, шест, седем.
[64]
И седем от тези варианти
съдържат поне едно ези.
[67]
А при този вариант не е така.
[69]
Един вид седем от осемте
съдържат поне по едно ези.
[73]
В момента вероятно си мислиш:
[74]
"Добре, Сал, ще го направим,
[76]
като запишем всички възможности.
[77]
Но ще е много трудно, ако кажа, че
[80]
поне едно ези се пада за 20 хвърляния.
[82]
Сега имаме 12, защото
съм направил само 3 хвърляния.
[84]
Така, че нека изясня –
[85]
това са резултатите при 3 хвърляния.
[90]
Ще бъде много по-трудно да го направя,
[92]
и ще отнеме много време,
[93]
ако имаме 20 хвърляния.
[95]
Виждаме ли тук някакъв
по-лесен начин?
[97]
Има ли някой друг начин,
по който да помислим?
[98]
Но не може да го направиш просто хей така,
по някакъв прост начин.
[102]
Не можем просто да кажем: "О! Вероятността
за ези, по вероятността за ези."
[105]
Защото ако първия път се паднат ези,
[108]
може да нямаш ези отново.
[110]
Или пак може да ни се паднат,
[112]
но не е задължително.
[113]
Така става малко по-сложно.
[115]
Но има и лесен начин
да помислим по въпроса.
[117]
Тази методика можем
да я използваме тук:
[120]
и всъщност това може
да се види на много изпити,
[121]
където задачата изглежда
като много трудна,
[124]
но ако само я обмислим
по правилния начин,
[126]
тя моментално става по-лесна!
[128]
Един начин, по който
можем да разсъждаваме е –
[130]
вероятността за поне едно
ези при 3 хвърляния е равна на
[135]
вероятността не всички
страни да бъдат тура.
[146]
Нали така?
[147]
Ако получим само тура,
[148]
тогава няма нужното
най-малко едно ези.
[150]
Така че тези две неща са равносилни.
[152]
Вероятността да получим поне едно ези
[154]
след 3 хвърляния е равна на
[156]
вероятността да не получим
само тура при 3 хвърляния.
[165]
И каква е вероятността
да не получим всички страни тура?
[169]
Тя ще бъде 1 минус
вероятността всички да са тура.
[175]
И понеже има 3 хвърляния, това е
вероятността да получим тура, тура, тура.
[181]
Защото при всяка от другите ситуации
[183]
ще е налице поне едно ези.
[185]
И това са всички други възможности.
[187]
Това е единствената друга възможност,
която е останала.
[189]
Ако ги съберем заедно,
ние ще получим 1.
[192]
Нека го напиша по този начин.
[193]
Вероятността... ( ще използвам нов цвят,
за да се види откъде идва всичко).
[199]
Вероятността да не получим
всички страни тура
[206]
плюс вероятността
да са всичките тура.
[212]
С това изчерпваме тази задача.
Налице са възможните обстоятелства.
[216]
И нашите шансове да получим
или никакви страни тура, или всички страни тура,
[219]
които са взаимно изключващи се.
Можем да ги съберем.
[222]
Вероятността (нека я напиша по този начин)...
[224]
Вероятността да не получим
всички страни тура или
[229]
(за да е ясно какво правим,
[230]
... или вероятността за всички страни тура
ще е равна на 1.
[241]
Те взаимно се изключват: или ще имаме
не всички страни да са тура, имаме и ези,
[245]
или всичко ще е тура. Но не е възможно
да се случват двете неща.
[250]
Като виждаме, че двете взаимно се изключват,
и казваме, че вероятността
[253]
за това, или за това да се случи,
можем да съберем вероятностите,
[256]
и по същество това са
всички възможни събития.
[259]
Ако съберем тези тук, налице е вероятността
което и да е от събитията да се случи,
[266]
това се отбелязва като 1 (единица)
или 100% вероятност.
[270]
Друг вариант да го разглеждаме е
вероятността не всички да са тура,
[275]
което се отбелязва като 1 минус
вероятността за всички страни да са тура.
[277]
Това написахме тук. А вероятността
за всички страни тура е повече от ясна:
[283]
тази вероятност е 1/2, понеже има 1/2
шанс да се падне тура при първото хвърляне,
[288]
умножено по, нека го напиша тук, ще имаме
[294]
1 минус вероятността да имаме само тура,
ще имаме 1/2 възможност
[298]
да имаме страни тура при първото хвърляне,
[301]
след което ще имаме тура при второто хвърляне,
[303]
и следва още тура при третото хвърляне.
[306]
И 1/2 по 1/2 по 1/2, това ще е равно
[309]
ще е равно на 1/8.
[312]
И сетне 1 минус 1/8, т.е. 8/8 минус 1/8
[316]
ще е равно на 7/8.
[320]
Това може да се приложи в една задача, която
се решава по по-труден начин
[324]
от това да пишем всички тези неща
в първата задача.
[326]
Можем да кажем, че вероятността, която...
Нека имаме 10 подхвърляния,
[334]
вероятността за поне едно ези.
[338]
Поне едно ези
[344]
след десет подхвърляния.
[348]
Действаме по същия начин,
това е същото нещо...
[351]
Това ще е равно на вероятността
да не са всички страни тура
[359]
при 10 подхвърляния.
Не са всичките тура.
[363]
Казваме, че вероятността да не са
тура при всички подхвърляния.
[369]
Не всички страни да са тура
при 10 подхвърляния.
[371]
Това ще е равно на 1 минус вероятността
да се паднат 10 пъти тура.
[378]
Така че имаме равенство с 1 минус вероятността
да се паднат 10 страни тура една след друга.
[386]
И това ще е равно на...
тази част тук, нека запиша.
[390]
Това ще е равно на 1 минус; тази част ще е 1/2,
умножено по 1/2 по 1/2... и така десет пъти.
[406]
По 1/2 по 1/2...
[407]
Пет, шест, седем, осем,
девет и десет пъти по 1/2.
[417]
В числителя получаваме 1, така тук ще е 1,
нека използвам зелено,
[427]
ще е равно на 1 минус...
[429]
в числителя имаме 1 десет пъти, т.е. 1,
[433]
а в знаменателя имаме, 2 пъти по 2 е 4,
4 по 2 е 8, 16, 32, 64, 128,
[444]
256, 512, 1024. 1024.
[452]
Това е равно на... 1024/1024 е равно на 1,
минус 1/1024, което е равно на
[468]
1023 върху 1024. Това е общият
знаменател тук, оцветен в синьо.
[479]
Върху 1024. Та ако подхвърлим
една монета
[484]
десет пъти един след друг,
обикновена монета, вероятно
[488]
ще получим поне едно ези
при тези десет хвърляния.
[490]
Имаме доста голямо число.
1023 върху 1024. Можем
[494]
да използваме калкулатор,
за да пресметнем това в проценти.
[497]
Нека го направя, понеже е интересно.
[500]
Така, имаме 1023, делено на 1024.
[505]
Получава се 99,9 % вероятност
да се получи поне едно ези.
[513]
Закръглено това е равно на
99,9% вероятност. Малко го закръглих,
[520]
дори е малко по-голямо число от това.
[523]
А това е много хубав инструмент,
много хубав начин, по който
[527]
да представим нещата. Понеже записването
на всички варианти би ни отнело цяла вечност.
[531]
Всъщност трябваше
да напишем 1024 варианта.
[536]
Това упражнение за подхвърляне
на монетата би отнело цялото ни време.
[542]
Ако помислим по малко
по-различен начин, ще кажем,
[545]
че вероятността да получим поне
едно ези при десет хвърляния,
[548]
е равна на вероятността да не получим само тура.
Което е 1 минус вероятността да получим всички
[553]
страни тура. А това всъщност е нещо
много лесно.
Most Recent Videos:
You can go back to the homepage right here: Homepage