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Lasst uns ein paar Übungen aus unserem Wahrscheinlichkeits-Modul machen. Wir haben einen Beutel mit neun roten Murmeln,

zwei blauen Murmeln und drei grünen Murmeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine

nicht-blaue Murmel aus dem Beutel zu ziehen? Also lasst mich den Beutel mal zeichnen. Hier ist mein Beutel. Lasst uns annehmen,

es ist ein durchsichtiger Beutel. Der wie eine Vase aussieht. Wir haben neun rote Murmeln, also zeichnen wir neun rote Murmeln.

Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun rote Murmeln. Sieht ein wenig orange aus, aber

für uns reicht's. Zwei blaue Murmeln. Also, eine blaue Murmel. Zwei blaue Murmeln. Und dann haben wir drei

grüne Murmeln. Lasst mich schnell die drei grünen zeichnen. Was ist die Wahrscheinlichkeit

dafür, zufällig eine nicht-blaue Murmel aus dem Beutel zu ziehen? Wir mischen sie alle und könnten

jede einzelne Murmel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ziehen. Und der Weg, um über unsere Frage nachzudenken

ist: Welcher Anteil an allen möglichen Ereignissen entspricht unseren Vorgaben? Also lasst uns zuerst über

alle möglichen Ereignisse nachdenken. Wie viele unterschiedliche Murmeln können wir aus dem Beutel ziehen? Das ist einfach die

gesamte Anzahl an Murmeln, die im Beutel sind. Insgesamt haben wir eins, zwei, drei, vier....

...elf, zwölf, dreizehn, vierzehn mögliche Murmeln. 14 ist also die Anzahl unserer möglichen Ereignisse. Und dann

müssen wir uns noch überlegen, welcher Anteil dieser möglichen Ereignisse unseren Vorgaben entspricht.

Ein anderer Weg, um bei den 14 Murmeln anzukommen, wäre die Farben zu addieren: 9+2+3. Also welche Anzahl

der Möglichkeiten entspricht unseren Vorgaben, eine <i>nicht-blaue</i> Murmel

aus dem Beutel zu ziehen? Also eine rote oder grüne Murmel zu ziehen? Wie viele nicht-blaue (also rote und grüne)

Murmeln gibt es? Du könntest sagen, es gibt insgesamt 14

Murmeln, und zwei davon sind blau. Also gibt es 14-2=12 nicht-blaue Murmeln.

Oder du könntest sie einfach zählen: 1, 2, 3,.....10, 11, 12. Wir haben also zwölf nicht-blaue Murmeln.

Diese zwölf nicht-blauen Murmeln stellen also die Ereignisse dar, die aus allen möglichen Ereignissen unseren Vorgaben entsprechen.

Und dann können wir noch vereinfachen.

Da 12 und 14 beide durch 2 teilbar sind, lasst uns Zähler

und Nenner durch 2 teilen, und ihr bekommt 6/7. Wir haben also eine Wahrscheinlichkeit von sechs Siebteln, zufällig

eine nicht-blaue Murmel aus dem Beutel zu ziehen. Lasst uns noch ein Beispiel ansehen.

Wenn aus der folgenden Liste per Zufall eine Zahl gewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,

dass diese Zahl ein Vielfaches von 5 ist? Wir wollen also wieder den Anteil an möglichen Ereignissen finden,

der unseren Vorgaben - ein Vielfaches von 5 zu sein - entspricht. Also wie viele

mögliche Ereignisse gibt es? Lasst uns überlegen...

Das ist einfach die gesamte Anzahl an Zahlen, aus den wir wählen können. Also einfach 1, 2, 3....

...10, 11, 12. Wir haben 12 mögliche Ereignisse. Wir haben die gleiche Chance, jede einzelne Zahl aus den zwölf möglichen zu wählen.

Wie viele dieser zwölft sind Vielfache von fünf?

Lasst mich die Vielfachen von 5 mal in einer anderen Farbe markieren.

32 is kein Vielfaches von 5, 49 auch nicht. 55 ist ein Vielfaches von 5.

Wir suchen einfach nach Zahlen, die im Einer entweder eine 5 oder eine 0 stehen haben.

55 ist ein Vielfaches von 5, 30 auch (das ist 6 mal 5), 55 ist 11 mal 5, 56 nicht, 28 nicht,

Das ist eindeutig 5 mal 10, das ist 8 mal 5, hier haben wir die gleiche Zahl noch einmal, also 8 mal 5,

45 ist 9 mal 5, 3 ist kein Vielfaches von 5, 25 ist eindeutig 5 mal 5.

Ich habe also alle Vielfachen von 5 umkreist. Von allen möglichen Ereignissen

entsprechen also 1, 2, 3....6, 7 Ereignisse unseren Vorgaben, ein Vielfaches von 5 zu sein.

Also 7 Ereignisse entsprechen unseren Vorgaben.

In diesem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, zufällig eine Zahl zu wählen, die ein Vielfaches von 5 ist, daher sieben Zwölftel.

Lasst uns noch eins machen.

Der Umfang eines Kreises ist 36 pi. Lasst mich das kurz zeichnen. Der Kreis...

Ich kann das hübscher zeichnen. Sagen wir, der Kreis sieht in etwa so aus.

Und sein Umfang - und hier müssen wir aufpassen: <i>Umfang</i>

sein Umfang ist 36 pi. Und dann gibt es in diesem Kreis noch einen kleineren Kreis

mit einer <i>Fläche</i> von 16 pi. In dem großen Kreis ist also noch ein kleinerer Kreis,

dieser hier, mit der Fläche 16 pi.

Ein Punkt innerhalb des großen Kreises wird zufällig gewählt. Also wählen wir zufällig irgendeinen Punkt

in diesem großen Kreis. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser zufälliger Punkt auch in dem kleinen Kreis liegt?

Das wird jetzt spannend, denn wir haben eine unendliche Anzahl an Punkten in beiden Kreisen

Wir haben hier keine separaten Einheiten wie bei den Murmeln im ersten Beispiel

oder einzelne Zahlen. Es gibt eine unendliche Anzahl an Punkten, die wir wählen könnten, daher:

Wenn wir über die Wahrscheinlichkeit sprechen, dass unser Punke auch in dem kleinen Kreis liegt, sprechen wir

eigentlich über den Anteil (%) von Punkten im großen Kreis, der auch in dem kleinen Kreis liegt.

Anders gesagt: Die Wahrscheinlichkeit dafür

dass unser zufällig gewählter Punkt im großen Kreis auch im kleinen Kreis liegt

ist tatsächlich einfach der Anteil (%) des großen Kreises, der sich mit dem kleinen Kreis überschneidet.

Das klingt verwirrend, aber wir müssen einfach nur die Flächen der Kreise berechnen und dann

den Anteil nehmen. Man könnte annehmen, dass wir die 36 pi nehmen können, aber

denkt dran: Das ist der Umfang und wir brauchen die Fläche der Kreise.

Um die Flächen zu berechnen brauchen wir den Radius, denn Fläche = pi mal R^2.

Den Radius leiten wir aus dem Umfang her.

Umfang = 2 mal pi mal R, also für uns

36 pi = 2 mal pi mal R

Wir können beide Seiten durch 2pi teilen.

36/2 = 18, pi hebt sich auf, also ist unser Radius

18=R, der große Kreis hat also einen Radius von 18.

Die Fläche berechnen wir mit pi mal R^2, also pi mal R zum Quadrat.

Das entspricht pi * 18^2. Was ist 18 zum Quadrat?

18 mal 18: 8 mal 8 = 64, 8 mal 1 = 8, plus 6 ist 14 und dann haben wir

diese Null hier weil wir jetzt im Zehner sind, ein mal 8 ist 8,

ein mal 1 ist 1 und hier haben wir 10 mal 10, daher 100.

4 + 0 ist 4, 4 + 8 ist 12, und 1 + 1 + 1 ist 3,

also haben wir 324. Die Fläche entspricht also pi mal 324, oder einfach 324pi.

Die Fläche des gesamten großen Kreises, also der Teil, den ich gelb gemalt habe

inklusive was hier unter dem orangen Kreis liegt

diese ganze Fläche entspricht 324pi.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt

aus diesem großen Kreis auch innerhalb dieses kleinen Kreises liegt

ist einfach der Anteil (%) des großen Kreises, den der kleine Kreis darstellt.

Unsere Wahrscheinlichkeit, dass unser Punkt

auch in dem kleineren Kreis liegt, diese Wahrscheinlichkeit

entspricht dem Anteil (%) des großen Kreises, den der kleine Kreis überlappt.

Also der Anteil der Fläche des großen Kreises, die

unter der Fläche des kleinen Kreises liegt. Die Fläche des kleinen Kreises war 16pi, also haben wir 16pi/324pi.

Die pi's heben sich auf und beide Zahlen sind durch 4 teilbar.

Zähler durch 4 ist 4, der Nenner durch 4 ist...

4 passt 80 mal in 320 und einmal in 4, also bekommen wir 81 für den Nenner.

Die Wahrscheinlichkeit ist also... Ich habe das nicht richtig gezeichnet. Diese Fläche

sollte viel kleiner sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Punkt

aus dem großen Kreis auch in dem kleinen Kreis liegt, ist das Verhaltnis zwischen den beiden Flächen.

Also das Verhältnis des kleinen Kreises zum großen Kreis.

Und das beträgt 4/81, also vier Einundachtzigstel.