🔍
What's so special about Euler's number e? | Chapter 5, Essence of calculus - YouTube
Channel: 3Blue1Brown
[15]
لقد قدمت بعض صيغ المشتقات
[17]
لكن هنالك نوع من التوابع معهم تم تركه هو التوابه الأسية
[20]
لذا هنا ، أريد أن أتحدث عن مشتقات توابع مثل
[23]
اثنان إس x ، سبعة إس x ، وأيضا لإظهار السبب
[26]
لماذا e أس x على نحو مثير للجدل الأكثر أهمية بين التوابع الأسية
[31]
قبل كل شيء ، لنتقرب للموضوع ، دعونا نركز فقط على الوظيفة إثنان أس x.
[36]
و دعونا نفكر في هذه المدخلات كوقت ، "t" ، ربما على شكل أيام
[40]
و الناتج للتابع 2 أس t كعدد السكان
[43]
ربما من مجموعة خصبة بشكل خاص من المخلوقات pi التي تتضاعف كل يوم.
[50]
وفعلا ، بدلا من حجم السكان ،
[53]
الذي ينمو في قفزات صغيرة منفصلة مع كل مخلوق بيبي جديد ،
[57]
ربما لنفكر في 2 أس t ككتلة مجموع السكان.
[61]
أعتقد أنه يعكس بشكل أفضل استمرارية هذه التابع ، أليس كذلك؟
[66]
لذلك ، على سبيل المثال ، في الوقت t = 0 ، تكون الكتلة الكلية 2 إلى 0 تساوي 1
[71]
لكتلة مخلوق واحد.
[74]
في اليوم t = 1 ، زاد عدد السكان إلى( 2 أس 1 )= 2 كتلة للمخلوقات.
[80]
في اليوم t = 2 ، يكون t للتربيع، أو 4 ، وبشكل عام ، فإنه يتضاعف كل يوم.
[88]
بالنسبة للمشتق ، نريد dm / dt ، المعدل الذي تنمو به هذه الكتلة السكانية ،
[94]
فكر في تغيير صغير في الكتلة مقسومًا على تغير بسيط في الوقت.
[99]
ودعونا نبدأ بالتفكير في معدل التغيير خلال يوم كامل ،
[103]
لنقول ، بين اليوم الثالث واليوم الرابع.
[106]
حسنا ، في هذه الحالة ينمو من 8 إلى 16 ، لذلك هذه 8 كتل مخلوقات جديدة
[112]
أضيفت على مدار يوم واحد.
[115]
ولاحظ أن معدل النمو يساوي حجم السكان في بداية اليوم.
[122]
بين اليوم الرابع والخامس ، تنمو من 16 إلى 32.
[126]
هذا هو معدل 16 كتلة مخلوقة جديدة كل يوم.
[129]
والتي ، مرة أخرى ، تساوي حجم السكان في بداية اليوم.
[133]
وبشكل عام ، هذا المعدل ينمو على مدى يوم كامل
[137]
مساويا حجم السكان في بداية ذلك اليوم.
[141]
لذلك قد يكون من المغري القول بأن هذا يعني
[144]
المشتق من التابع 2 أس t يساوي التابع نفسه
[147]
أن معدل تغيير هذه التابع في وقت معين t
[151]
يساوي ، حسنا ، قيمة هذه التابع
[154]
وهذا بالتأكيد في الاتجاه الصحيح ،
[157]
لكنه ليس صحيحًا تمامًا.
[159]
ما نفعله هنا هو إجراء مقارنات على مدار يوم كامل ،
[163]
بالنظر إلى الفرق بين 2 أس ( t زائد 1 يوم) ،
[166]
و 2 أس ( t )
[168]
ولكن بالنسبة للمشتق ، نحتاج إلى السؤال عما يحدث للتغييرات الأصغر والأصغر.
[173]
ما هو النمو على مدى عشر
من اليوم؟ جزء من مئة من يوم؟ واحد واحد من المليار من اليوم؟
[179]
هذا هو السبب الذي جعلني أفكر في التابع على أنه يمثل كتلة سكانية
[183]
لأنه من المنطقي أن نسأل عن تغير بسيط في الكتلة على جزء صغير من اليوم
[188]
ولكن ليس من المنطقي أن نسأل عن التغير الضئيل في الحجم السكاني المنفصل في الثانية.
[195]
بشكل أكثر تجريدًا ، لتغيير صغير في الوقت ، dt ، نريد أن نفهم
[200]
الفرق بين 2 أس (t +dt)
[204]
و 2 أس ( t )
[205]
و الكل مقسوما على dt.
[207]
تغير في الوظيفة لكل وحدة زمنية ، ولكننا الآن نتطلع بشكل ضيق جدًا حول نقطة زمنية محددة ،
[214]
بدلا من مدار يوم كامل.
[219]
و هنا أريد ان أقول :
[221]
يا حبذا لو كان هناك بعض الصور الهندسية الواضحة جدا
[224]
التي تجعل كل شيء حول ما يـأتي لاحقا فقط تتبع
[227]
بعض الرسم البياني حيث يمكنك الإشارة إلى قيمة واحدة ،
[229]
ونقول ، "انظر! * هذا * الجزء هو مشتق من 2 أس t ".
[234]
وإذا كنت تعرف واحدًا ، فالرجاء إخباري بذلك.
[236]
وبينما الهدف هنا كما هو الحال مع بقية السلسلة
[239]
هو الحفاظ على روح مرحة من الاكتشاف ،
[242]
نوع الشرح التالي سيكون له علاقة أكبر بإيجاد أنماط رقمية ،
[246]
أكثر من تلك البصرية.
[248]
لذا ابدأ بمجرد إلقاء نظرة فاحصة على هذا المصطلح
[251]
2 أس (t +dt)
[255]
خاصية أساسية ل التوابع الأسية هي أنه يمكنك تقسيم هذا الأمر إلى 2 أس (t) مظروبا ب 2 أس (dt).
[261]
هذه هي حقا أهم خاصية للتوابع الأسية.
[265]
إذا قمت بإضافة قيمتين في أس تابع أسي ، يمكنك تقسيم الإخراج كناتج ظرب من نوع ما.
[270]
هذا هو ما يتيح لك ربط الأفكار المضافة
[273]
أشياء مثل خطوات صغيرة في الوقت المناسب ،
[274]
لأفكار متعددة ، أشياء مثل المعدلات والنسب.
[278]
أعني ، مجرد إلقاء نظرة على ما يحدث هنا.
[280]
بعد هذه الخطوة ، يمكننا إخراج العنصر 2 أس t.
[284]
وهو الآن مضروبًا في 2 أس dt ناقص 1 ، مقسومًا على dt.
[290]
وتذكر ، مشتق من التابع 2 أس t
[293]
هو أيا كان هذا التعبير كله مقربا عندما dt يقترب من 0
[298]
وللوهلة الأولى قد يبدو هذا تلاعبًا غير مهم ،
[302]
لكن حقيقة مهمة للغاية هي أن هذا المصطلح على اليمين ،
[306]
حيث توجد كل الأشياء dt ، منفصلة تمامًا عن
[309]
العنصر(قيمة) t نفسه. لا يعتمد على الوقت الفعلي الذي بدأنا فيه.
[314]
يمكنك الذهاب إلى آلة حاسبة و إدخال قيم صغيرة جدًا هنا ل dt
[319]
على سبيل المثال ، ربما كتابة 2 أس 0.001
[323]
ناقص 1 مقسومًا على 0.001
[327]
ما ستجده هو أنه بالنسبة إلى الخيارات الأصغر والأصغر من dt ،
[332]
هذه القيمة تقترب من رقم محدد جدًا ،
[335]
حول 0.6931.
[338]
لا تقلق إذا كان هذا الرقم غامضًا ،
[340]
النقطة الأساسية هي أن هذا ثابت.
[344]
بخلاف مشتقات التوابع الأخرى ،
[347]
كل الأشياء التي تعتمد على dt منفصلة عن قيمة t نفسها.
[352]
إذن مشتق 2 أس t هو نفسه فقط ،
[356]
لكن مضروبة مع ثابت
[358]
وهذا شيء منطقي ،
[360]
لأنه في وقت سابق ، شعرت أن المشتق ل 2 إلى t يجب أن يكون نفسه ،
[365]
على الأقل عندما كنا ننظر إلى التغييرات على مدار يوم كامل.
[368]
ومن الواضح أن معدل التغيير لهذه التابع عبر مقاييس زمنية أصغر بكثير
[373]
لا يساوي نفسه تماما،
[375]
لكنها متناسبة مع نفسها ،
[377]
مع هذا الثابت التناسبي الغريب جدا 0.6931
[388]
وليس هناك الكثير من الخصوصية حول الرقم 2 هنا ،
[392]
إذا تم بدلاً من ذلك تعاملنا مع الدالة 3 أس t ،
[395]
كما أن الخاصة الأسية قد أدت بنا إلى الاستنتاج
[399]
مشتق من 3 أس t يتناسب مع نفسه.
[403]
لكن هذه المرة كان سيكون لها ثابت التناسب 1.0986.
[408]
ولأسس أخرى لأس الخاص بك يمكنك الحصول على المتعة في محاولة لمعرفة ما هو مختلف
[413]
ثوابت التناسب هي ، قد نرى ما إذا كان يمكنك العثور على نمط ختص فيها.
[418]
على سبيل المثال ، إذا قمت بإدخال 8 إلى قوة رقم صغير جدًا
[422]
ناقص 1 ، وينقسم على هذا العدد الصغير نفسه ،
[426]
ما قد تجده هو أن ثابت التناسب المعني يبلغ حوالي 2.079 ،
[432]
ربما تلاحظ أن هذا الرقم ينتج
[437]
بالضبط من ثلاثة أضعاف الثابت المرتبط بالأساس 2
[441]
لذلك هذه الأرقام ليست عشوائية بالتأكيد ، هناك نوع من النمط ،
[446]
ولكن ما هو؟
[448]
ما علاقة 2 بالرقم 0.6931؟
[452]
ما علاقة 8 بالرقم 2.079 ؟
[456]
حسنا ، هناك سؤال آخر سيشرح في نهاية المطاف هذه الثوابت الغامضة
[462]
هو ما إذا كانت هناك أساس يكون فيها هذا الثابت التناسبي يساوي واحدًا (1) ،
[466]
حيث مشتق "a" إلى القوة t لا يتناسب فقط مع نفسه ،
[471]
ولكن في فعلا مساو لنفسها.
[473]
وهناك!
[474]
إنه الثابت المميز "e"
[477]
تقريبا 2.71828.
[479]
في الواقع ، ليس فقط أن الرقم e يحدث ليظهر هنا ،
[483]
هذا ، بمعنى ما ، ما يحدد الرقم ه.
[487]
إذا كنت تسأل ، "لماذا e ، من جميع الأرقام ، لديك هذه الخاصية؟"
[491]
الأمر يشبه قليلاً السؤال "لماذا تكون pi ، من كل الأرقام هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها؟"
[498]
هذا هو ، في جوهره ، ما يعرف هذه القيمة
[501]
جميع التوابع الأسية تتناسب مع مشتقاتها الخاصة ،
[505]
ولكن دائما هو رقم خاص بحيث ثابت تناسبه هو واحد ،
[510]
يعني e أس t يساوي مشتقة خاصة بها.
[514]
إحدى الطرق للتفكير في ذلك هي أنك إذا نظرت إلى الرسم البياني للتابع e أس t ،
[518]
لديها خاصية غريبة أن ميل خط المماس لأي نقطة على هذا الرسم البياني
[523]
يساوي ارتفاع تلك النقطة فوق المحور الأفقي.
[527]
إن وجود دالة كهذه يجيب على سؤال الثوابت الغامضة
[533]
وهذا لأنه يعطي طريقة مختلفة للتفكير في التوابع
[536]
التي تتناسب مع مشتقاتها الخاصة.
[538]
المفتاح هو استخدام قاعدة السلسلة.
[541]
على سبيل المثال ، ما هو مشتق e أس 3t ؟
[546]
Well,
5/5000
حسنا،
[546]
تأخذ مشتق من التابع الخارجي، والتي بسبب هذه الطبيعة الخاصة ل e
[551]
هو نفسه فقط مظروبا بمشتق من تلك التابع الداخلي ، 3t
[556]
وهو الثابت ، 3.
[558]
أو ، بدلاً من مجرد تطبيق هذه القاعدة بطريقة عمياء ، يمكنك أن تأخذ هذه اللحظة لممارسة الحدس لقاعدة السلسلة
[564]
التي تحدثت خلال الفيديو الأخير ، والتفكير في كيفية دفعة صغيرة إلى t يغير قيمة 3t
[570]
وكيف يؤدي هذا التغيير المتوسط إلى دفع القيمة النهائية لـ e إلى 3t.
[579]
في كلتا الحالتين ، النقطة هي ، e إلى قوة بعض الثوابت مظروبا ب t
[583]
يساوي نفس الثوابت مظروبا بالتابع نفسه.
[587]
ومن هنا ، فإن مسألة الثوابت الغامضة تأتي في الحقيقة إلى تلاعب جبري معين.
[596]
يمكن أيضًا كتابة الرقم 2 كـ e أس (اللوغارتم الطبيعي لـ 2).
[601]
لا يوجد شيء خيالي
هنا ، هذا هو مجرد تعريف اللوغارتم الطبيعي ،
[606]
يسأل السؤال ، "e أس ماذا يساوي 2؟"
[610]
لذا ، فإن التابع 2 أس t
[613]
هو نفس التابع e أس (اللوغارتم الطبيعي ل 2 ظرب t).
[619]
ومن ما رأيناه للتو ، يجمع بين الحقائق أن e أس t هو مشتقها الخاص
[624]
مع قاعدة التسلسل ، فإن مشتق هذه التابع يتناسب مع نفسه ،
[629]
مع ثابت التناسب مساويا اللوغارتم الطبيعي ل 2.
[633]
وبالفعل ، إذا أدخلت اللوغارتم طبيعي للاثنين في آلة حاسبة ،
[637]
ستجد أنه 0.6931 ،
[640]
الثابت الغامض الذي واجهناه سابقاً
[643]
ونفس الشيء ينطبق على جميع الأسس الأخرى.
[646]
ثابت التناسب الغامض الذي ينبثق عند أخذ المشتقات
[651]
هو مجرد اللوغارتم الطبيعي للأساس،
[653]
الجواب على السؤال ، "e أس ماذا يساوي تلك الأساس؟"
[660]
في الواقع ، في جميع تطبيقات حساب التفاضل والتكامل ، نادرًا ما ترى التوابع الأسية على أنها أساس معين مرفوع لأس t
[667]
بدلا من ذلك تقريبا دائما ما يكتب التابع الأسي على شكل e إلى قوة( بعض الثوابت ظرب t).
[673]
إنه مساوي تماما . أقصد تابع مثل 2 أس t
[677]
أو 3 أس t يمكن أن تكتب على شكل e أس بعض الثوابت ظرب t
[683]
على خطر البقاء أكثر من التركيز على الرموز هنا ،
[687]
في خطر البقاء أكثر من التركيز على الرموز هنا ،
[694]
أنا حقا أريد أن أؤكد أن هناك العديد من الطرق لكتابة أي نابع أسي معين ،
[698]
هذا الإختيار الذي نقوم به لكتابته بهذه الطريقة ، والرقم (e) ليس جوهريًا لهذه الوظيفة نفسها.
[704]
ما هو خاص حول كتابة الأسس على شكل e مثل هذا ،
[709]
هو أنه يعطي هذا الثابت في الأس معنى جميل ومقروء.
[714]
هنا ، دعني أريك ما أقصده.
[715]
كل أنواع الظواهر الطبيعية تنطوي على معدل تغيير يتناسب مع الشيء الذي يتغير.
[722]
على سبيل المثال ، عادةً ما يكون معدل نمو السكان يميل لان يكون متناسبًا
[728]
لحجم السكان نفسه ،
[730]
على افتراض عدم وجود بعض الموارد المحدودة لإبطاء الأمور.
[734]
وإذا وضعت كوبًا من الماء الساخن في غرفة باردة ،
[737]
المعدل الذي يبرد به الماء يتناسب مع الفرق في درجة الحرارة
[742]
بين الغرفة والماء.
[744]
أو يمكن القول بطريقة مختلفة بعض الشيء
[746]
المعدل الذي يتغير فيه هذا الفرق يتناسب مع نفسه.
[752]
إذا كنت تستثمر أموالك ، فإن معدل نموها
[755]
يتناسب مع مقدار المال هناك في أي وقت.
[759]
في كل هذه الحالات ، حيث بعض متغييرات معدل التغير
[763]
يتناسب مع نفسه
[765]
ستبدو الدالة التي تصف هذا المتغير بمرور الوقت وكأنها نوع من التوابع الأسية.
[770]
وعلى الرغم من وجود العديد من الطرق لكتابة أي دالة أسيّة ،
[774]
من الطبيعي جدا اختيار التعبير عن هذه التوابع
[778]
كما e إلى قوة (بعض الثوابت ظرب t)
[781]
لأن هذا الثابت يحمل معنىً طبيعياً للغاية.
[785]
إنه نفس ثابت التناسب بين حجم التغير لمتغير
[790]
ومعدل التغيير.
[794]
وكالعادة ، أود أن أشكر أولئك الذين جعلوا هذه السلسلة ممكنة.
[799]
ترجمة : درعا - بلاد الشام
Most Recent Videos:
You can go back to the homepage right here: Homepage