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Limits, L'Hôpital's rule, and epsilon delta definitions | Chapter 7, Essence of calculus - YouTube
Channel: 3Blue1Brown
[14]
之前的几个视频提到了导数，在进入到积分之前
[18]
我想花一些时间来谈一谈极限。
[21]
老实说，极限的概念早就不是什么新鲜事了。如果你知道“逼近”这个词
[26]
这意味着你已经很早就知道了极限这个词
[30]
剩下的就是为一个值设定有趣的符号来让它接近另外一个值。
[36]
但这里确实是有几个原因关于为什么要用一整个视频来谈论这个主题。
[40]
其中之一，这是有价值的，关于我是如何描述导数
[43]
到目前为止与正式的定义相符
这是一个典型的衍生品
[48]
在大多数课程和教科书。
我想给你一些信心，思考
[52]
像dx和df这样的术语具体为非零
轻推并不只是一些建设的伎俩
[58]
直觉;它实际上是由
对所有衍生工具的正式定义
[63]
严格。
我也想谈一谈什么
[65]
完全数学家所说的“方法”
在所谓的“epsilon
[70]
三角洲“限制的定义。
然后我们用一个聪明的把戏结束
[74]
计算称为L'Hopital's的限制
规则。
[77]
所以首先，我们来看看
在衍生物的正式定义。
[82]
提醒一下，当你有一些功能
f（x），思考一个特定的导数
[87]
输入，也许x = 2，你开始想象轻推
输入一些微小的DX，并看着
[94]
由此产生的输出变化，df。
比例df / dx，可以很好地考虑
[101]
作为上升的斜坡之间的斜坡
在图上的起点和推动
[105]
点，几乎是衍生物。实际上
派生是无论这个比例接近
[112]
因为DX接近0。
只是想明白这里的含义
[117]
推动输出“DF”是不同的
在f（开始 - 输入+ dx）和f（开始 - 输入）之间;
[125]
由微调引起的输出变化
DX。
[128]
要表达你想要找到这个
比率接近dx接近0，你写
[133]
“lim”，用于限制，用“dx arrow 0”
在它下面。
[138]
现在，你几乎从来没有看到任何条款
一个小写字母d，就像dx一样，在一个限制内
[144]
这个。相反，标准是使用不同的
变量，如delta-x，或通常“h”
[150]
因为某些原因。
我喜欢这样想的方式是条款
[153]
在这个典型的衍生物中小写的d
表达已经构成了他们的想法
[159]
一个极限，dx最终应该是这样的想法
方法0。
[164]
所以在某种意义上这个左边的“df / dx”，
我们一直在考虑的比例
[170]
过去的几个视频，只是速记而已
右方更多地阐述了这一点
[175]
细节，写出我们的意思
df，并明确写出限制过程。
[181]
而右边是正式的定义
一个衍生物，就像你通常看到的那样
[186]
在任何微积分教科书
[188]
现在，如果你会原谅我的小咆哮
在这里，我想强调一点
[192]
这个右手边引用了矛盾
“无限小”变化的想法。
[198]
限制的目的是避免这一点。
这个数值h和数值完全相同
[203]
“DX”我一直在参考
该系列。
[205]
这是f的输入与一些微调
非零，有限小尺寸，如0.001，
[212]
只是我们正在分析会发生什么
对于任意小的选择h。
[217]
事实上，人们介绍的唯一原因
一个新的变量名称进入这个正式的定义，
[223]
而不仅仅是使用DX，是超级额外的
清楚这些输入的变化是
[230]
与此无关的普通数字
无穷小。
[234]
你看，还有其他人喜欢解释
DX是一个“无限小的变化”，无论如何
[239]
这将意味着，或只是说，DX和
DF只不过是不应该的符号而已
[244]
被认真对待。
但现在在系列中，你知道我是
[247]
不是这两种观点的忠实粉丝，
我认为你可以也应该把dx解释为
[252]
一个具体的，有限的微小推动，就这样
只要你记得问问会发生什么
[257]
它接近0。
首先，我希望过去的几个视频
[261]
已经帮助说服你，这有帮助
建立一个更强大的直觉在哪里
[265]
微积分的规则实际上来自于。
但这不只是一些建设的伎俩
[269]
直觉。我一直在说的一切
关于这个具体的微小推动的衍生物
[274]
哲学只是正式的翻译
衍生物的定义。
[281]
长话短说，关于限制的大惊小怪
是他们让我们避免无限的谈论
[285]
通过反而询问发生了什么的小变化
作为对我们变量的一些变化的大小
[291]
接近0。
这使我们进入了目标2：理解
[296]
这恰恰意味着要接近一个价值
另一个。
[300]
例如，考虑函数[（2 + h）3）
- 23] /小时。
[308]
这恰好是弹出的表达式
如果你解开了定义的话
[312]
在x = 2时x3的导数，但是让我们来
把它看成是任何一个功能都与
[319]
输入h。
它的图形是这个不错的连续看
[323]
抛物线。但实际上，如果你想想
h = 0时发生了什么，堵住了你的位置
[333]
得到0/0，这是没有定义的。只要问siri。
所以真的，这个图表在这一点上有一个漏洞。
[340]
你不得不夸张地画出这个洞，
经常用这样的一个小空圈，
[345]
但请记住功能是完美的
定义好的输入接近于0
[350]
想。
你不同意，当h接近
[353]
0，相应的输出，高度
这张图，接近12？而事实并非如此
[359]
无论你从哪个方面来。那
这个比例的限制为h等于0
[368]
12。
但是，想象一下，你是一个数学家发明
[371]
微积分，有人怀疑地问“好”
你的意思是什么意思？“
[378]
这将是一个令人讨厌的问题。我的意思是，
来吧，我们都知道这对一个人意味着什么
[382]
价值接近另一个。
但让我告诉你一个完全的答案
[388]
明确。
对于一定距离内的给定范围的输入
[393]
0，不包括禁止点0，请看
在相应的产出，所有可能的
[399]
在该范围之上的图的高度。
随着输入值的范围更多地关闭
[405]
并在0左右更紧的输出范围
价值观越来越密切
[411]
12.这一系列产出的规模可以
尽可能小。
[419]
作为一个反例，考虑一个函数
看起来像这样，这也没有定义
[423]
在0，但那种跳跃。
当你从右边接近h = 0时，
[429]
功能接近2，但是当你来
0从左边，它接近1.因为有
[436]
这个功能不是一个明确的，明确的价值
当h接近0时，方法是极限
[442]
根本没有定义在这一点上。
当你看任何范围的输入
[448]
0以及相应的输出范围，
因为你缩小了相应的输入范围
[455]
产出不会在任何具体的范围内缩小
值。相反，这些输出跨越一个范围
[462]
从来没有缩小过1，不
事关你的输入范围有多小。
[468]
缩小输入范围的这个观点
在限制点附近，看是否
[473]
或者不是你被限制在多少
缩小输出范围，导致某些东西
[477]
称为“epsilon delta”定义
的限制。
[481]
你可以争辩这不必要的重负
对微积分的介绍。就像我说的，
[486]
如果你知道“方法”这个词的意思，
你知道什么是限制，所以有
[490]
这里的概念层面没有新东西。
但这是一个有趣的一瞥
[494]
真正的分析领域，它给你一个
品味数学家如何直观
[499]
微积分思想充分密切和严谨。
你已经看到了主要的想法：何时
[505]
存在一个限制，你可以使这个输出范围
尽可能小;但是，当限制不
[511]
存在，输出范围不能变小
比一些价值，不管你收缩多少
[516]
限制输入周围的输入范围。
相同的想法稍微精确一点，
[522]
也许在这个例子的上下文中
极限值是12，想想任何距离
[527]
远离12，因为某些原因
共同使用希腊字母“epsilon”
[532]
来表示那个距离而这里的意图
那个距离就是那么小
[537]
如你所愿。
这对于存在的限制意味着什么
[541]
你总是可以找到一个周围的输入范围
我们的限制输入，一些距离三角洲
[548]
从0开始，以便在任何距离内输入
0的增量对应于a的输出
[555]
距离epsilon 12。
他们关键的一点是任何事情都是如此
[561]
epsilon，不管多小。
相反，当不存在限制时，
[568]
正如在这个例子中，你可以找到一个足够的
小的像，像0.4，所以不管
[574]
你有多小，你的范围在0左右，不
小小的三角洲是多么的相应
[580]
输出范围总是太大。那里
没有限制他们得到的输出值
[590]
任意接近。
[594]
到目前为止，这都是相当理论重的;范围
被用来正式定义导数，
[600]
然后epsilons和三角洲被严格使用
自己定义限制。所以让我们来完成
[605]
事实上，这里有一个技巧
计算限制。
[609]
例如，让我们说出于某种原因你
正在研究函数sin（pi * x）/（x2-1）。
[616]
也许这模拟了某种衰减的振荡。
当你绘制一堆点来绘制它时，
[622]
它看起来很连续，但是有
一个有问题的值，x = 1。
[629]
当你把它插入时，sin（pi）是0，而
分母也是0，所以函数是
[637]
实际上没有在那里定义，和图形
应该真的有一个漏洞。
[642]
这也发生在-1，但我们只是
把我们的注意力集中在这些漏洞之一
[648]
目前。
图表似乎确实接近
[651]
在这一点上的一些独特的价值，不会
你说？所以你可能会问，你怎么看
[659]
当x接近时，输出这个方法的输出
1，既然你不能只插一个？
[666]
那么，接近它的一种方法是
插入一个非常接近1的数字，如1.00001。
[676]
这样做，你会得到约-1.57的数字。
但有没有办法知道它究竟是什么
[683]
是什么？一些系统的过程来表达
像这个，在一些看起来像0/0
[689]
输入，并询问当x接近时它的极限是什么
那个输入？
[694]
那么，如此有限的帮助，让我们写
衍生物的定义
[700]
可以回来的回报和帮助
我们评估限制。让我告诉你我的
[705]
意思。
这是sin（pi * x）的图表，这里是
[711]
x2-1的图表。这是很多
在屏幕上，但只关注发生了什么
[717]
在x = 1。这里的重点是罪（pi * x）和
x2-1在这一点都是0，所以他们交叉
[727]
x轴。
本着同样的精神，
[731]
值接近1，比如1.00001，让我们放大
在这一点上，并考虑发生了什么事
[738]
小微推dx走。
sin（pi * x）的价值被低估了
[745]
这是由此引起的微调的价值
通过推动dx的投入，是我们可能的
[749]
调用d（sin（pi * x））。
从我们对衍生品的知识，使用
[755]
链规则，应该在cos（pi * x）* pi * dx附近。
由于起始值是x = 1，我们插入
[765]
在这个表达式中x = 1。
换句话说，改变的大小
[774]
这个sin（pi * x）图大致成比例
到dx，比例常数cos（pi）* pi。
[782]
由于cos（pi）正好是-1，我们可以写
作为-pi * dx。
[790]
同样，这个x2-1图的值已经改变了
由一些d（x2-1）。而拿衍生物来说，
[800]
该微调的大小应该是2 * x * dx。再次，
因为我们从x = 1开始，这意味着大小
[809]
这个变化是大约2 * 1 * dx。
所以对于一些微小值的x值
[818]
dx从1开始，sin（pi * x）/（x2-1）
近似于（-pi * dx）/（2 * dx）。 DX的
[828]
取消，这样值就是-pi / 2。
由于这些近似值越来越多
[838]
准确的更小和更小的选择
DX，这个比例 - P2 / 2实际上告诉我们
[845]
当x接近1时，精确的极限值。
请记住，这意味着限制
[851]
我们原来的图表上的高度是显而易见的
正好-pi / 2。
[858]
那里发生的事情有点微妙，所以
让我再看一遍，但是这一次
[862]
更普遍。而不是这两个具体的
函数，它们都等于0在x = 1，认为
[869]
的任何两个函数f（x）和g（x），其中
在一些常见值x = a处都是0。
[876]
而这些必须是你的功能
能够在x = a处取其衍生物，
[881]
这意味着他们基本上看起来像一条线
当你放大到足够接近的价值。
[888]
即使你不能计算f分割
由克在故障点，因为两者相等
[892]
零，你可以问这个比例的价值
x非常接近a，极限为x方法
[900]
一个。想想附近的人会有帮助
输入作为一个微小的dx远离a。
[906]
f在这个推动点的值是近似的
其衍生物，df / dx在一个时间点评估
[914]
DX。同样，g的价值在这个推动
点近似为g的导数，
[921]
在时间dx评估。
所以靠近这个故障点之间的比例
[927]
f和g的输出实际上是关于的
与在时间dx的f的导数相同，
[934]
除以时间的g的导数
DX。
[937]
这些DX的取消，所以F和的比例
克附近的比例大致相同
[943]
其衍生物。
由于这些近似值更准确
[948]
对于较小的推导，这个比率的衍生物
给出极限的精确值。
[955]
这对于计算来说非常方便
很多限制。如果你遇到一个表达
[960]
这似乎等于0/0，当你插入一些
输入，只取顶部的导数
[967]
和底部的表达，并插入那个麻烦
输入。
[974]
这个巧妙的把戏叫做“L'Hôpital's”
规则”。有趣的是，它实际上被发现了
[978]
由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）创作，但是L'Hopital是一位
本质上支付伯努利的富有的家伙
[983]
为他的一些数学权利
发现。
[989]
从字面上看，理解是值得的
这些微小的推动。
[995]
你可能还记得，
任何给定函数的衍生物来
[999]
一直到计算一个分数的极限
看起来像0/0，所以你可能会觉得L'Hopital的
[1006]
规则给出了一个方便的方法来发现新的衍生物
公式。
[1010]
但是，这可能是骗人的
你还不知道什么是衍生物
[1015]
这里的分子是。
当发现衍生公式时，
[1019]
我们一直在做相当数量的事情
这个系列，没有系统的插件
[1024]
方法。但这是一件好事。当创造力
需要解决像这样的问题，
[1029]
这是一个很好的迹象，你正在做的事情
真实;可能会给你一个强大的东西
[1033]
解决未来问题的工具。
[1039]
接下来，我会谈谈什么是一个整体
是，还有基本定理
[1044]
微积分，这是另一个例子
限制是用来帮助给出一个清晰的含义
[1049]
一个相当微妙的想法，调情
无穷。
[1053]
如你所知，大部分支持这个频道
通过Patreon，和主要的津贴
[1057]
对于顾客来说，是早日进入未来的系列
像这样，下一个将在概率。
[1064]
但对于那些想要更有形的人来说
方式来标记你是社区的一部分，
[1069]
还有一个小的3blue1brown商店，链接
在屏幕上和描述中。
[1074]
我还在辩论是否要做一个
初步一批plushie pi生物，
[1079]
它的种类取决于有多少观众
感兴趣的商店一般，但让
[1083]
我知道在评论什么样的其他事情
你想看看那里。
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