The Discovery That Transformed Pi - YouTube

本视频的主题是计算π的奇葩方法

起初 即使是最好的圆周率算法都费力费时，枯燥乏味 这持续了2000年

直到牛顿大神横空出世，彻底改变了游戏规则

可以说，他速通了算 π 的游戏

我们来看看他是怎么做的

但是我们先来个 派-萨

切下披萨的卷边 摆在相同大小的披萨中间

我们发现，卷边的长度等于披萨直径的三倍多一点

这就是π

圆的周长大约是直径的3.14倍

但是π也和圆形的面积有关

圆形面积等于π乘以半径的平方

但是为什么呢？

我们把披萨切成窄条 再把他们摆成一个长方形

它的面积是长乘宽

长是圆形周长的一半

因为半数的卷边在一条长边上 另外半数在对边上

所以长就是π乘以半径

长方形的宽就是一小份披萨的长度

也就是圆形的半径

所以面积就是π乘以半径再乘以半径

也就是 πR²

所以单位圆（半径为1的圆）的面积就是π

记住这个知识点，一会要考

那么，有哪些计算π的奇葩方法呢？

首先是最显而易见的方法

很明显，π的值介于3和4之间

画一个圆，在里面再画一个六边形

边长为1

正六边形可以分成六个等边三角形

圆形的直径就是2

六边形的周长是6

圆形的周长肯定比6要大一点

π也就大于6/2

也就是说π大于3

现在沿着圆外面画一个正方形

正方形的周长是8 8比圆的周长略大一些

所以π的值应小于8/2

也就是说π小于4

这在几千年前人类还处于小学二年级的时候就知道了

公元前250年，阿基米德改进了这种方法

跟刚才的方法一样，他也从六边形开始

然后把正六边形细分成正十二边形

如图所示

接下来计算正十二边形的周长

周长与直径的比值会比π略小

他又计算了外接正十二边形

这样就找到了π值的上界

现在计算有一点复杂

需要求解平方根和双重根号

把他们变成小数

接着 他求出了12边形对应的上下界，然后是24边形，48边形

最终求出了96边形对应的数值

他快累死了

不过最终得到了 3.1408<π<3.1429

在2000多年以前，这个结果已经很精确了

是啊，感觉已经很精确了，够用了

对，这种精度足够解决所有的实际需求了

这就是在秀肌肉

这是在进行人肉算力比拼

看谁能把π这类常数算得更精确

此后的2000年里 人们用这种方式把多边形不断细分

as π passed through Chinese, Indian, Persian and Arab mathematicians,

当π的概念传播至中国、印度、波斯和阿拉伯的数学家手中

他们都采用了与阿基米德类似的方法

到16世纪晚期，法国的弗朗索瓦 · 韦达（韦达定理的那位）

把阿基米德的96边形又细分了12次

计算出了正393216边形的周长

直至17世纪被荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦打破

鲁道夫花费了25年时间，计算出了

正2的62次方边形的周长

即正四百六十一亿一千六百八十六万零一百八十四亿\N二千七百三十八万七千九百零四边形

这些付出所得的回报

仅是算对了圆周率小数点后35位

他把这些数字刻在了自己的墓碑上

20年后，他的纪录被人超越

Christoph Grienberger把纪录推到了38位

那么他是最后一个这么干的人么？

差不多了

因为不久之后，来到了伊萨克牛顿爵士的主场

牛顿引入了他的方法后

就没人再细分多边形了

时间来到1666年，牛顿这年才23岁

由于伦敦的鼠疫大流行，他按照防疫要求在家隔离

牛顿对一些简单的式子产生了兴趣

比如 (1+x)²

得到了1+2x+x²

那么 (1+x)³ 呢？

很简单，展开得到

1+3x+3x²+x³

四次方也能这么算

五次方、六次方、七次方也可以

随后牛顿发现了一个捷径

不用做这些复杂的数学运算

而能直接得到答案

如果你只看这些式子中的数字的话

只看x乘方的系数

他们就是帕斯卡三角形里的数字

（1+x）的次方数

对应了三角形中的行数

而这个三角形很好计算

it's something that's been known from ancient Greeks in Indians and Chinese Persians,

古代希腊、印度、中国和波斯这些文明

都发现了规律

如果目前已知某一行

只要把该行相邻的数字两两相加

就得到了下一行的对应数字

所以这个方法能非常简单、快速地得到

（1+x）的十次方展开式的系数

而不用一个一个的展开计算

最让我着迷的是当我查看那些古老的文件时，

虽然我看不懂他们的语言和数字系统

但明显能看出来 这些手稿想表达的都是同一个概念

就是西方世界里面的帕斯卡三角（此后统一采用杨辉三角的译法）

这就是数学之美

它能跨过文化的差异，超越时空的限制，

它也是人类与宇宙沟通的桥梁。

就算我们像古文明那样消逝了，

连外星文明都会知道杨辉三角。

最终，人们想出了计算杨辉三角的通用公式

这样就能算出任意一行的数字

而不需要根据上一行数字得出

对于任何形如（1+x）的n次方的表达式

它等于 1 + nx +

n(n-1)x²/ 2！+

n(n-1)(n-2)x³/ 3！+ ...

这 就是二项式定理

之所以叫二项， 就是它只有两项相加

1 和 x。‘bi’就是两的意思，有两项。然后定理-

就是说你能严格的证明出来

这个公式算出来的跟你在杨辉三角里看到的那些系数是一样的

刚刚你所讲的这一切在牛顿那个时代就已经知道了

是的，大 家 都 知 道。人类已经处在高二的水平了

大家都见过

然而除了牛顿，没人想得到这个公式还能这样玩

也即，把这个公式推倒重建

标准的二项式定理规定，n必须是一个正整数

这很好理解

这个公式本意就是算出（1+x）的若干次幂的展开式

但是牛顿想，别管范围，直接套公式！

数学就是找到模式，然后处处套这个模式

看看这个模式在哪不适用了

所以牛顿试着把（1+x）的指数变成-1

即 1/（1+x）

要是我就直接把原展开式中的n换成负的会怎样

你得到的就是这个展开式在正负项交替延续

+1 -1 +1 -1 +.....

即 1-x

下一项是 +x²

-x³

+x⁴-x⁵...

即这个多项式的系数在正负之间交替变化

这一来就变成一个无限序列了

是的

如果n不是个正整数，

那么用牛顿的这个二项式定理就会得出一个无限个项加和

但你是怎么理解这个的？

我是说，对于正整数而言

这是有限个项

而现在换成负整数，项的个数变成了无限个？

嗯 是这样的 当n是正整数时

还记得公式吗

系数形如 n（n-1）（n-2）...

如果n是个正整数，就一定会到（n-n）的

而n-n等于0

于是此项及其后面的各项均为0

这就是为什么展开式会是有限个项

是个有限个数的三角形

但是一旦你走出那个由正整数组成的三角

你就不会碰到n-n这种情况

因为n不是正整数了

所以得到了无限个项

我有个问题

这公式谁敢用啊

牛顿的这个展开式真的能给你1/（1+x）的值吗？

嗯，这真有可能是错的

当你改换范围时，好多数学公式都用不了了

我们的那些定理都是有原因的

不过我们还得搞清楚这些定理能不能套用在更广的范围里

将式子两边同乘（1+x）并全部展开

就会发现除了第一项的1以外其他项全抵消了

因此，那个无限个项和乘以（1+x）等于1

即，那个无限个项和就等于1/（1+x）

牛顿就是这么证明的

他也说服了自己，这个公式能应用在它之前不包含的范围里

牛顿确信，二项式定理甚至可以扩展到 n 为负数的情况

这就是说，我们还可以对杨辉三角搞点事情

在第一层上方，你可以再写一个0和1

它们相加得到第一层的1

之后那一层可以继续写上1 -1 1 -1 一直写下去

在标准的三角形外面

没写数字的地方都应该是0

这也和我们刚刚添加的吻合

反复的1 -1 加和确实是0

它下面每一行这些位置也是0

我们再进一步，其上再写上负数

写的时候你可以用二项式定理，

或者直接通过前一行推出

这下我们整出了一个奇妙的东西

如果暂时忽略负号

则右上方的数的排列模式

和主三角的排列模式是一样的

只是整体绕着三角形的边旋转了

牛顿发现了它适用于整数还不知足

接下来，他试了试把（1+x）的指数变成分数，比如1/2

这就是说

现在你开始算（1+x）的0.5次方

也就是（1+x）开平方根

他想要弄明白

这样的展开式会不会也跟之前一样

把n=1/2 带入二项式定理

他得到了一个无限项的序列

这让我觉得我们可以深入杨辉三角内部

把它放大，然后把分数放进去

放在行与行之间

确实，杨辉三角实际上可以是连续的

在0 和 1 之间还有连续的任意分数

你可以把它作为二项式的指数

你可以把每个分数比如1/2, 1/4, 1/3想象成在各自的平面

而在各个平面中的下一个数

都是它上面两个数的和

这下不需要n再是一个正整数了

不需要n是正整数

不需要n是个负整数

n都不需要是个整数

现在n=1/2的情况都被他搞定了

他现在可以为所欲为了

比如，他很快就能把根号三精确到小数点后好多位了

我们把3 写成 4-1

提出一个4，得到一个根号4

所以是2倍的根号（1-1/4）

把二项展开式中的x以-1/4带入

就可以得到一个快速收敛的展开式（注：因为呈指数变化的是1/4）

这样就能算出高精度的根号三

此时的牛顿 特别感兴趣的是n=1/2的情况

因为单位圆的方程是 x²+y²=1

将 y 解出来 得到上半圆的方程是 1-x² 的 1/2 次方

其形式恰好符合牛顿之前研究的东西

只要把 x 换成 -x² 即可

这将在等号右侧引入一些负号，并且将各项的阶数统统乘以 2

现在他得到了有关圆的公式

每一项都是拿一个有理数乘上 x 的若干次方

现在我们等式左边和右边两个式子表示的是同一件事

当你得到了这样一个等式

就意味着马上要有魔法了

大家都迫不及待要三连了

但这条式子怎样用来计算圆周率呢？

万幸 他研究这个问题时刚发明微积分

当时他自己将其称之为“流数理论”

如果将曲线在 [0, 1] 上的这一段来积分

就会得到曲线下这部分的面积，即为 1/4 圆

他知道圆的面积恰为 πR²

单位圆的半径为 1，所以面积为 π

而我们只要 1/4 圆 所以面积为 π/4

同时 他手里有这个无穷级数

还知道怎样对 x 的多项式求积分

把每项的 x 的次数加 1，再除以新的次数

现在我们有了一个无穷级数

对分数进行简单的计算就能得出答案

带入 x=1 即得圆周率 可精确到小数点后任意位数

但牛顿最后再进行了调整 又推进了一步

数学界的灌水论文毫无新意

全是在炒别人不屑于炒的冷饭

有价值的数学论文 至少有新东西能让人眼前一亮

而牛顿做到这里 居然已经提了四个崭新的想法

他马上要提出第五个新思路:

不再对区间 [0,1] 积分 而是对 [0, 1/2] 积分

对于无穷级数

我们希望它的收敛速度越快越好

这样的话 不需要算太多项就能得到比较精确的结果

牛顿想 如果不是对区间 [0,1] 积分 而是对 [0, 1/2] 积分

每个 x 都缩小到原来的一半

那收敛速度会乘上 x² 的若干倍

在本例中是 1/4

但如果积分上限变成了 1/2

曲线下方的面积又变成了多少？

曲线下方是圆的这一部分

可以切割成一个 30° 的扇形，面积为 π/12

和一个底 1/2 高 √3/2 的直角三角形

前面的积分式子就会变成这样

把左边 π 的系数往右边移 就得到了下面的式子

此时 光是算前五项就能得到 π = 3.14161

与精确值只差了十万分之二

要达到鲁道夫用四千万亿边形割出来的精度

也只需要计算牛顿级数的前 50 项

曾经长年累月的计算 如今只需朝夕之功

因此再也没有人用割圆术来算圆周率了

那当然啦

还用割圆术死算的话 立马被人超过了

这就好比是 有人开始用起重机盖房子了

有人居然还在爬梯子往房子上砌砖

大清亡了 现在没人那样盖房子了

我们用上新科技了 你还不思进取的吗

我们盖摩天大楼了

你还只能盖小平房 可能还盖不稳当

纽约就是个例子

你可以看到字面上的“科技的上升与进步”

先是一排排的五层小楼

然后突然间 前面就出现了 20 层、30 层、乃至 90 层的高楼

所以这就是谁有技术的问题

我认为 这段历史说明 最直观的做法不一定是最优的

有个不错的做法是 把玩一下各种规律

把它们推广到更大范围 看看能否自洽

因为在数学中，一点点的洞见可以带来无限的可能

（激昂的旋律🎶）

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微积分，神经网络，Python 编程

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有观众问过我 为什么我视频里 没有琐碎的细节和数值计算

其实我觉得视频不太适合讲这类技巧

计算上的问题 最好应该在解题中锻炼

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并提高你的学习信心 这一点我很满意

作为一名科学教育学的博士

我可以说 不烧脑的学习一定学不到东西

我做这些题的时候 可以感觉到我的脑子转起来了

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