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The mathematical secrets of Pascalâs triangle - Wajdi Mohamed Ratemi - YouTube
Channel: TED-Ed
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Ăbersetzung: Susanna Kuschick
Lektorat: Laura Witzel
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Das sieht zwar aus wie
ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,
[11]
aber es ist eine
mathematische Schatzkiste.
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Indische Mathematiker nannten es
"Stufen des Berges Meru".
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Im Iran heiĂt es "ChayyÄm-Dreieck".
[21]
In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".
[23]
In der westlichen Welt ist es meist
als Pascalsches Dreieck bekannt.
[28]
Es nach dem französischen Mathematiker
Blaise Pascal zu benennen,
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scheint etwas unfair,
da er deutlich zu spÀt dran war;
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doch er hatte noch viel beizutragen.
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Was fasziniert Mathematiker
aus aller Welt also so sehr daran?
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Kurz gesagt: Es ist voller
Muster und Geheimnisse.
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ZunÀchst ist da das Muster,
nach dem es entsteht.
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Beginne mit Eins und stell dir
unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.
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Addiere sie paarweise
und schon bildest du die nÀchste Reihe.
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Das wiederholst du immer wieder.
[62]
Mach weiter, bis so etwas
Ăhnliches entsteht,
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auch wenn sich das Pascalsche Dreieck
eigentlich unendlich fortsetzt.
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Jede Zeile entspricht den sogenannten
Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes
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in der Form (x+y)^n,
[78]
bei dem n die Nummer der Zeile ist
[81]
und man bei Null anfÀngt zu zÀhlen.
[83]
Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,
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erhÀlt man (x^2) + 2xy + (y^2).
[91]
Die Koeffizienten
oder Zahlen vor den Variablen
[94]
sind dieselben wie die Zahlen
in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.
[98]
Mit n=3 passiert das Gleiche,
was dann so aussieht.
[103]
Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten
also schnell und einfach ermitteln.
[108]
Aber da ist noch viel mehr.
[110]
ZĂ€hle etwa die Zahlen
in jeder Zeile zusammen
[112]
und du erhÀltst nacheinander
alle Potenzen von Zwei.
[116]
Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile
als Teil einer Dezimalentwicklung.
[121]
Anders gesagt, Zeile zwei ist
(1x1) + (2x10) + (1x100).
[127]
Man erhÀlt 121, was 11^2 entspricht.
[132]
Sieh dir an, was passiert,
wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.
[136]
Die Summe ist 1.771.561,
was 11^6 entspricht, usw.
[145]
Es gibt auch geometrische Anwendungen.
[147]
Sieh die Diagonalen an.
[149]
Die ersten beiden sind eher uninteressant:
[151]
alles Einsen, dann die positiven Zahlen,
[154]
auch als natĂŒrliche Zahlen bekannt.
[156]
Doch die Zahlen in der nÀchsten Diagonale
nennt man Dreieckszahlen.
[160]
Denn mit dieser Anzahl Punkte
[162]
lassen sie sich als
gleichseitige Dreiecke anordnen.
[166]
Die nÀchste Diagonale
hat vierflÀchige Zahlen,
[169]
weil man ebenso viele Kugeln
als Tetraeder anordnen kann.
[174]
Oder wie wÀre es damit:
Markiere alle ungeraden Zahlen.
[177]
Es sieht nach wenig aus
wenn das Dreieck klein ist,
[180]
doch wenn man tausende Zeilen addiert
[183]
erhÀlt man ein Fraktal,
das man Sierpinski-Dreieck nennt.
[187]
Dieses Dreieck ist nicht nur
ein mathematisches Kunstwerk.
[190]
Es ist vor allem sehr nĂŒtzlich,
[192]
wenn es um Wahrscheinlichkeit
und Berechnungen in der Kombinatorik geht.
[198]
Sagen wir, du willst fĂŒnf Kinder
und möchtest wissen,
[201]
wie wahrscheinlich deine Traumfamilie
von drei MĂ€dchen und zwei Jungen ist.
[206]
Beim binomischen Lehrsatz entspricht das
"MĂ€dchen plus Junge hoch fĂŒnf".
[212]
Schauen wir uns also Zeile fĂŒnf an,
[214]
wo die erste Zahl fĂŒnf MĂ€dchen
und die letzte fĂŒnf Jungen entspricht
[219]
Die dritte Zahl ist, was wir suchen.
[222]
Zehn geteilt durch die Summe
aller Möglichkeiten der Zeile,
[226]
also 10/32 oder 31,25%.
[231]
Oder wenn du aus einer
Gruppe von 12 Freunden
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zufĂ€llig fĂŒnf Spieler
fĂŒr ein Basketballteam wĂ€hlst,
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wie viele FĂŒnfergruppen sind dann möglich?
[240]
Auf dem Gebiet der Kombinatorik
hieĂe dieses Problem "fĂŒnf aus zwölf"
[244]
und lieĂe sich mit
dieser Formel berechnen.
[247]
Oder man sieht sich das sechste Element
von Zeile zwölf des Dreiecks an
[251]
und erhÀlt so die Antwort.
[253]
Die Muster im Pascalschen Dreieck
[255]
sind ein Beleg fĂŒr die elegant
verwobenen Strukturen der Mathematik.
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Und es enthĂŒllt
bis heute neue Geheimnisse.
[263]
So haben Mathematiker
kĂŒrzlich einen Weg gefunden,
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es zu dieser Art Polynome zu erweitern.
[270]
Was finden wir wohl als NĂ€chstes?
[271]
Nun, das liegt an dir.
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