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ck12.org normal distribution problems: z-score | Probability and Statistics | Khan Academy - YouTube

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[0]

這是ck12.org網站AP統計FlexBook的第二題

[7]

這是一個開放資源的教科書

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在這裡我用它來進行一些統計練習

[14]

這是第二題某高中期中考試成績

[19]

符合平均81 標準差6.3的常態分佈

[24]

計算出成績z分數如下

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並畫圖然後標註

[32]

我們會在這例題做一張圖

[34]

首先要記得z分數

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所謂z分數

[39]

也就是離平均值有多少個標準差

[55]

所以要算z分數也就是要算

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每個成績離平均值有多少個標準差

[63]

首先來看a部分

[67]

成績是65分首先看65和平均值的差

[72]

我先畫這次一直要使用的圖

[75]

這就是我們的分佈

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平均值是81

[84]

然後標準差是6.3

[87]

題目說的分佈是常態分佈

[91]

所以是一個很漂亮的鐘形曲線

[94]

常態分佈這是我畫過最好的鐘形曲線了

[97]

常態分佈這是我畫過最好的鐘形曲線了

[100]

平均值是81 標準差則是6.3

[105]

離平均值一個標準差也就是離6.3單位

[112]

往正向6.3(一個標準差) 也就是87.3

[121]

往負方向6.3 得到的值是74.7

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沒問題加6得到80.7 再加0.3等於81

[136]

這分別是在左右兩側距離平均值1個標準差的情況

[138]

然後再加一個6.3就是2個標準差以此類推

[143]

這是分佈本身的圖像

[146]

接下來看每一個z分數

[154]

首先是65 它大概在這附近

[158]

首先要求它與平均值的距離

[162]

這裡我說的"距離"其實可以為負因為z分數可正可負

[166]

這裡我說的"距離"其實可以為負因為z分數可正可負

[168]

這裡我說的"距離"其實可以為負因為z分數可正可負

[170]

負意味著在均值左側正意味著在均值右側

[176]

在這裡用65減去81

[180]

這就是距離不過我們要用標準差來衡量它

[185]

因此要除以標準差的長度

[191]

(65-81)/6.3等於多少

[197]

5+11=16

[201]

也就是-16/6.3 用計算機來算一下

[208]

計算-16/6.3

[217]

得到大約-2.54

[225]

這是65分的z分數很簡單

[230]

再算幾個看83

[234]

它離平均值的距離是83-81

[239]

比平均值大2

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再以標準差計看對應多少個標準差

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之前算了題目的a部分

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它比平均值少2.5個標準差

[251]

這是a部分 1, 2 然後是0.5

[254]

這是a部分 65分

[257]

然後b部分是83分大概在這裡

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稍微高於平均值在這裡

[264]

其z分數是(83-81)/6.3

[271]

計算機歸零

[274]

83-81=2 所以是2/6.3

[279]

z分數大概是0.32

[284]

也就是說83比平均值高0.32個標準差

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大概就是1/3個標準差

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這裡是一整個標準差

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求出的結果比平均值多0.3個標準差

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再看c部分

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93 還是一樣的計算方法它比平均值高多少

[313]

93-81=12

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然後要用標準差表示

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12是多少個標準差呢

[322]

接近2個標準差

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還是用計算機算一下 12除以6.3

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1.9個標準差 z分數也就是1.9

[335]

離平均值有1.9個標準差

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平均值是81 這是1個標準差

[342]

然後再加0.9個標準差 93分落在這裡

[347]

其z分數是1.9 也就是比平均值高1.9個標準差

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再看最後一個用紫紅色

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d部分成績是100

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不需要看題目了 100分也是一樣的方法

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首先算100比平均值高多少平均值是81

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然後用差值除以標準差

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100-81=19 也就是19/6.3

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略高於3個標準差

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下一個題目中你們將看到這和機率有什麼關聯

[385]

下一個題目中你們將看到這和機率有什麼關聯

[387]

這裡精確求出z分數 19/6.3=3.01

[395]

很接近四捨五入應該是3.02

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z分數是3.02 即100比平均值高3.02個標準差

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平均值是81

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然後往右移1個標準差

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2個標準差然後是3個標準差大概在這裡

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2個標準差然後是3個標準差大概在這裡

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稍微再多一點比平均值高3.02個標準差這就是100

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稍微再多一點比平均值高3.02個標準差這就是100

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這裡透過函數高度看出機率非常低

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這裡透過函數高度看出機率非常低

[432]

比這個值高的機率已經很低了

[436]

我之前講過對於機率密度函數

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在連續而不是離散的情況下

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正好得到某個值的機率是0

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而在這裡其實考試成績是離散的

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而在這裡其實考試成績是離散的

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但通過鐘形曲線可以直觀看出高於此成績的機率很小

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但通過鐘形曲線可以直觀看出高於此成績的機率很小

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希望這一節的説明讓大家學會計算z分數其計算真的很簡單

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希望這一節的説明讓大家學會計算z分數其計算真的很簡單

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下一節我將解釋z分數和機率的關係

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