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Statistics: Sample variance | Descriptive statistics | Probability and Statistics | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
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Das Video hier ist etwas besonderes
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aus verschiedenen Gründen.
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Erstens: ich zeige Euch die Varianz einer Stichprobe,
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was allein schon interessant ist,
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und ich versuche, das Video hier in HD aufzunehmen.
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Und Ihr seht das hoffentlich größer und schärfer
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als je zuvor.
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Naja, wir werden sehen.
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Ist also alles ein bisschen ein Experiment, ich bitte um Geduld.
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Bevor wir die Varianz einer Stichprobe behandeln,
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wäre es sinnvoll, die Varianz einer Population
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zu wiederholen.
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Dann können wir die Formeln vergleichen.
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Die Varianz einer Population - das hier ist der
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griechische Buchstabe Sigma.
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Klein-Sigma zum Quadrat.
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Das ist die Varianz.
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Ich weiß, das ist komisch, dass eine Variable
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direkt schon quadriert daherkommt.
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Aber man nimmt hier nicht das Quadrat,
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sondern die Variable ist eben Sigma Quadrat.
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Sigma Quadrat heißt Varianz.
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Ich schreib's mal hin.
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Das ist die Varianz.
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Und das ist gleich... Du nimmst jeden Datenpunkt....
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wir nennen die x Index i.
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Du nimmst jeden Datenpunkt, schaust, wie weit der von
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dem Mittelwert der Population weg ist, quadrierst das und
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dann mittelst Du über alle diese.
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Zum Mitteln, summierst Du alle auf.
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Das geht von i gleich 1.
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Also vom ersten Punkt, ganz bis zum n-ten Punkt.
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Und dann, zum Mitteln, summierst Du alle auf und
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teilst das durch n.
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Die Varianz ist also das Mittel all dieser quadrierten Distanzen
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von jedem Punkt und dem Mittelwert.
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Und nur um eine Intuition zu haben, das bedeutet,
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wie weit weg ungefähr die Datenpunkte
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vom Mittelwert entfernt sind.
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So stellt man sich am besten die Varianz vor.
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Aber was, wenn wir... das hier war für
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eine Population, nicht wahr?
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Und wenn wir die Varianz der Körpergröße
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aller Männer im Land haben wollten,
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dann wäre das sehr schwierig.
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Man müsste im Grunde die Größe
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jedes Mannes messen.
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250 Millionen Menschen.
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Oder was wäre, wenn es um eine Population ginge,
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an deren Daten man unmöglich rankäme oder um
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eine Zufallsvariable.
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Dazu später mehr.
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Also in vielen Fällen will man diese Varianz nur abschätzen,
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indem man die Varianz einer Stichprobe nimmt.
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Genauso wie man niemals den Mittelwert einer Population messen kann,
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aber vielleicht will man den abschätzen, indem man
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den Mittelwert einer Stichprobe nimmt.
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Das haben wir im ersten Video gelernt.
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Wenn das hier die ganze Population ist.
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Das sind Millionen von Datenpunkten, sogar Datenpunkte,
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die in der Zukunft liegen, die Du niemals bekommst,
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weil es eine Zufallsvariable ist.
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Das ist also die Population.
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Du willst vielleicht nur eine Schätzung, indem Du eine Stichprobe nimmst.
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Darum geht es im Grunde bei der
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induktiven Statistik.
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Dass man deskriptive Statistikwerte einer Stichprobe herausfindet
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und daraus Schlüsse über die Population zieht.
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Lass uns diese Medizin bei 100 Leuten ausprobieren und
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wenn es statistisch signifikante Ergebnisse bringt,
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wird die Medizin wahrscheinlich auch bei der ganzen Population wirken.
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Darum geht's im Grunde.
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Es ist also echt wichtig, den Unterschied zwischen
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Stichprobe und Population zu verstehen.
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Und wenn man statistische Werte über eine Stichprobe findet,
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die die Population größtenteils beschreiben können oder
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abschätzen können, dann nennen wir diese Werte Parameter für die Population.
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Was ist also der Mittelwert von ... ich schreib diese Definitionen neu.
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Was ist der Mittelwert einer Population?
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Ich mach das mal in lila.
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Lila für Population.
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Der Mittelwert einer Population.
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Du nimmst jeden Datenpunkt in der Population, x i.
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Summierst sie auf.
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Du beginnst mit dem ersten Punkt und gehst durch
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bis zum n-ten Punkt.
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Und teilst durch n.
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Alles aufsummierren und durch n teilen.
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Das ist der Mittelwert.
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Dann fügen wir das in die Formel ein.
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Und Du kannst sehen, wie weit jeder Punkt vom
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zentralen Punkt entfernt ist, vom Mittelwert.
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Und man bekommt die Varianz.
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Was passiert jetzt bei einer Stichprobe?
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Naja, wenn wir den Mittelwert einer Population abschätzen wollen,
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indem wir den Mittelwert für einer Stichprobe berechnen, dann
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ist es das Beste... und das sind alles menschengemachte Formeln.
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Irgendwelche Menschen haben sich gefragt, was ist
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der beste Weg das zu schätzen?
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Das beste, was wir tun können, ist den Mittelwert unserer Stichprobe zu nehmen.
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Und das ist dann der Stichproben-Mittelwert.
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Wir haben im ersten Video gelernt, dass diese Notation
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Die Formel ist fast identisch.
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Nur die Notation ist anders.
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Statt Mü schreibt man x mit einem Strich darauf.
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Stichproben-Mittelwert ist gleich - wieder nimmt man
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nur die Datenpunkte aus der Stichproben, nicht aus der ganzen Population.
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Du summierst sie, vom ersten bis
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zum n-ten, richtig?
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Man sagt, da sind n Datenpunkte in dieser Stichprobe.
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Und dann teilst du es durch die Anzahl der Datenpunkte.
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So weit, so gut.
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Es ist eigentlich die gleiche Formel.
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Wie ich den Mittelwert der Population gerechnet habe, ich sag mal,
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wenn ich nur eine Stichprobe habe, lass mich den Mittelwert genauso berechnen.
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Dann ist das wohl eine gute Schätzung des Mittelwerts
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der Population.
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Bei der Varianz wird's jetzt spannend.
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Die normale Reaktion wäre: OK, ich hab diese Stichprobe
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und wenn ich die Varianz der Population schätzen will,
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warum wende ich nicht die gleiche Formel an
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aber eben über der Stichprobe?
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Das könnte ich sagen - und das ist dann tatsächlich die Stichproben-Varianz.
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Man verwendet s Quadrat.
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Sigma ist ein griechischer Buchstabe, der äquivalent zu s ist.
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Aber da wir hier mit der Stichprobe arbeiten,
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schreiben wir hier s.
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Das ist die Stichproben-Varianz.
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Ich schreib's mal hin.
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Stichproben-Varianz.
[303]
.
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Wir könnten sagen, vielleicht ist es eine gute Idee,
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die Stichproben-Varianz auf die gleiche Weise zu rechnen.
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Wir nehmen die Distanz von jedem der Punkte in der Stichprobe.
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Finden raus, wie weit die sind vom Stichproben-Mittelwert.
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Hier haben die den Populations-Mittelwert benutzt, aber jetzt
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benutzen wir den Stichproben-Mittelwert, weil wir nur den haben.
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Den Populations-Mittelwert kennen wir nicht
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ohne die ganze Population einzubeziehen.
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Nimm das zum Quadrat.
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Das macht es positiv und es weitere Eigenschaften,
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auf die ich später komme.
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Dann nimm den Durchschnitt von allen diesen quadierten Distanzen.
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Summierst alle auf.
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Es gibt n davon, richtig?
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klein-n.
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Du teilst durch klein-n.
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Und du findest, das ist eine gute Schätzung.
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Was auch immer die wahre Varianz ist, das könnte eine gute Schätzung sein
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für die gesamte Population.
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Das ist das, worüber die Leute reden, wenn sie
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von Stichproben-Varianz sprechen.
[361]
Manchmal wird man darauf verwiesen.
[365]
Man schreibt ein klein-n hinein.
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Der Grund ist, wir haben durch n geteilt.
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Du fragst vielleicht: Sal, was ist das Problem?
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Und das Problem... ich versuch mal, einen Eindruck zu vermitteln,
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das hat mich wirklich immer etwas verwirrt.
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Und selbst jetzt muss ich manchmal mit mir ringen,
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um die Idee dahinter zu begreifen.
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Ich habe so eine Idee, aber das etwas formaler
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zu beweisen, dass das wirklich stimmt...
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Stellt Euch das so vor.
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Wenn ich ein paar Zahlen habe
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und ich male einen Zahlenstrahl hier.
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Wenn ich eine Zahl eintrage - sagen wir, man weiß...
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Sagen wir ich habe ein paar Zahlen in meiner Population
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Sagen wir... ich schreibe jetzt zufällig ein paar
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Zahlen in meine Population.
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Und die auf der rechten Seite sind größer als die
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auf der linken Seite.
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.
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Wenn ich eine Stichprobe davon nehme, vielleicht ..
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Die Stichprobe ist zufällig.
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Man will wirklich eine zufällige Stichprobe nehmen.
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Man will nicht, dass das unausgeglichen ist.
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Vielleicht wähle ich diese Zahl, diese und diese
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und diese, OK?
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Wenn ich jetzt den Mittelwert dieser Zahl,
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dieser Zahl, dieser Zahl und dieser Zahl nehme,
[428]
wird der irgendwo in der Mitte sein.
[429]
Vielleicht irgendwo hier drüben.
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Und wenn ich die Stichproben-Varianz berechne
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mit dieser Formel, dann nehme ich diese Distanz zum Quadrat plus
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dieser Distanz zum Qudrat plus dieser Distanz zum Quadrat plus
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dieser Distanz zum Quadrat und mittle über alles.
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Dann würde ich diese Zahl bekommen
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und das wäre wohl eine recht gute Schätzung der
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Varianz der gesamten Population.
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Die Population des Mittelwerts ist möglicherweise
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weiß nicht
[453]
Es könnte ziemlich ähnlich zu dem hier sein.
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Wenn wir alle Datenpunkte nehmen würden und dann das Mittel nähmen,
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dann wäre das vielleicht irgendwo hier.
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Und wenn du dann die Varianz ausrechnest, dann wäre das
[460]
vielleicht recht nah am Mittelwert der ganzen Linien hier, ja?
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Von allen Varianz-Abständen der Stichprobe, ja?
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So weit, so gut.
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Jetzt sagst du, OK, Sal,
[467]
sieht ja ganz gut aus,
[469]
aber da ist ein Haken.
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Was ist denn... Es besteht immer die Möglichkeit, dass man
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nicht diese schön verteilten Zahlen als Stichprobe wählt,
[476]
sondern, was passiert, wenn ich eben diese Zahl, diese Zahl
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und diese Zahl
[483]
als Stichprobe wähle?
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Was auch immer deine Stichprobe ist, dein Stichproben-Mittelwert
[488]
wird immer in der Mitte davon sein, ja?
[490]
Also in diesem Fall ist dein Stichproben-Mittelwert hier.
[492]
Und bei diesen Zahlen würde man jetzt sagen, OK, die Zahl hier
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ist nicht sehr weit von dieser Zahl entfernt und diese Zahl nicht sehr weit von jener und
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diese Zahl ist auch nicht weit.
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Also wird deine Stichproben-Varianz, wenn man's so macht, ziemlich
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niedrig sein.
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Einfach weil alle diese Zahlen ziemlich...
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... ziemlich nah an ihrem Mittelwert
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sein werden.
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Aber in diesem Fall ist die Stichprobe irgendwie unausgeglichen und
[514]
der wirkliche Mittelwert der Population ist ja irgendwo hier drüben.
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Also ist auch die wirkliche Varianz der Stichprobe, wenn man
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den echten Mittelwert wüsste - ich weiß, es klingt verwirrend -
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wenn du den echten Mittelwert wüsstest, würdest du sagen
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"Wow!".
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Du würdest dann diese Abstände hier sehen, die natürlich
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viel größer wären.
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Warum ich das alles erzähle ist, wenn du
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eine Stichprobe nimmst, dann ist es möglich, dass dein Stichproben-Mittelwert
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dem Populations-Mittelwert sehr ähnlich ist, ja?
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Der Stichproben-Mittelwert ist vielleicht hier und der
[542]
Populations-Mittelwert hier.
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Und dann funktioniert diese Formel ganz wunderbar,
[545]
jedenfalls, was die Stichprobenpunkte betrifft und was das
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Berechnen der Varianz betrifft.
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Aber es kann auch sein, dass dein Stichproben-Mittelwert...
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also die Stichprobe ist immer in den Daten enthalten, ja?
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Der Mittelwert ist immer in der Mitte der Stichproben-Daten.
[558]
Aber es ist durchaus möglich, dass der Populations-Mittelwert
[561]
außerhalb der Stichproben-Daten liegt.
[562]
Es kann einfach sein, dass du Werte gewählt hast,
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die nicht den eigentlichen Populations-Mittelwert enthalten.
[568]
Und wenn du dann die Stichproben-Varianz auf diesem Weg berechnest,
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dann unterschätzt du die eigentliche
[574]
Populations-Varianz, richtig?
[576]
Einfach, weil sie immer näher am eigenen Mittelwert sein werden
[578]
als am Mittelwert der Population.
[579]
Und wenn du nur 10% von all dem hier verstehst,
[583]
dann bist du bereits ein Student fortgeschrittener Statistik.
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Ich erzähle all das nur, um dir - hoffentlich -
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eine Ahnung davon zu geben, da das hier häufig...
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diese Formel wird häufig die eigentliche Varianz der Population
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unterschätzen.
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Und es gibt eine Formel - und das wurde tatsächlich richtig
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bewiesen - eine Formel, die eine bessere Schätzung,
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oder sagen wir eine ausgeglichenere Schätzung der
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Populations-Varianz darstellt.
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Oder auch die ausgeglichene Stichproben-Varianz.
[611]
Und manchmal wird es einfach als s Quadrat geschrieben,
[614]
manchmal als s Index n-1 zum Quadrat.
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Und ich zeig euch warum.
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Es ist fast das gleiche.
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Du nimmst jeden Datenpunkt, schaust, wie weit sie
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vom Stichproben-Mittelwert weg sind
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und quadrierst das.
[628]
Und dann nimmst du das Mittel dieser quadrierten Werte,
[631]
mit einem kleinen Unterschied:
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i gleich 1 bis i gleich n...
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statt durch n zu teilen, teilst du durch eine etwas
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kleinere Zahl.
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Du teilst durch n minus 1.
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Wenn du durch n minus 1 teilst anstatt durch n zu teilen,
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wirst du ein etwas größeres Ergebnis bekommen.
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Und es stellt sich heraus, dass das
[651]
tatsächlich eine viel bessere Schätzung ist.
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Und eines Tages werde ich ein Computerprogramm schreiben,
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um mir das experimentell zu beweisen, dass das
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eine bessere Abschätzung der Populations-Varianz ist.
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Und man berechnet das auf die gleiche Weise, nur dass
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man durch n minus 1 dividiert.
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Man kann das auch so erklären... aber nein,
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ich habe keine Zeit mehr.
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Wir belassen es erstmal dabei.
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Und im nächsten Video machen wir ein paar
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Rechnungen, dass ihr nicht zu sehr von der Theorie
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erschlagen werdet.
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Weil wir doch recht abstrakt geworden sind.
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Bis zum nächsten Video.
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