Floating Point Numbers - Computerphile - YouTube

Wir erwarten, dass Computer vollkommen präzise mit Zahlen umgehen.

Du kennst das, du wächst mit Taschenrechnern auf, du erwartest, dass wenn du

0,1 + 0,2 eintippst 0,3 herauskommt.

Und früher oder später probiert das jeder Programmierer beim Lernen aus.

Und er schreibt es in einer Programmiersprache.

Etwas wie "0.1 + 0.2", und dann drückt er Enter.

Der Computer gibt ihm daraufhin etwas wie 0.30000000000...1 zurück

Und genau dann muss der Programmierer etwas über Gleitkommazahlen lernen

und wird sich dabei die Haare ausreißen.

Gleitkommazahlen sind im Grunde wissenschaftliche Schreibweise.

Für die Uneingeweihten, stellt euch vor, Ihr seid Astrophysiker und

habt die Lichtgeschwindigkeit,

eine gigantische Zahl mit acht Nullen.

Und jetzt möchtest du sie mit einer winzigen Entfernung multiplizieren

Es ist nicht wirklich wichtig, was hier gemessen wird, es geht nur darum, dass es eine große und eine kleine Zahl gibt.

Sagen wir mal 0,00000015.

Lass uns diese Zahlen miteinander multiplizieren, ich habe uns es extra ein bisschen einfacher gemacht.

Man könnte versuchen, es umständlich und kompliziert zu berechnen, und es irgendwie herausbekommen,

aber das muss man nicht. Weil in dieser wissenschaftlichen Schreibweise

ist das 3 mal 10 hoch 8

und das hier ist 1,5 mal 10 hoch -7.

Man muss also nichts wirklich komliziertes machen, um diese beiden miteinander zu multiplizieren.

Du musst nur diese Zahlen hier multiplizieren, was 4,5 ergibt

und diese Exponenten addieren.

8 und - 7 ergeben zusammen 1,

also haben wir 4,5 mal 10 hoch 1, oder 4,5 mal 10, oder 45.

Brillant! Das ist viel einfacher als mit den großen Zahlen zu arbeiten.

Und es ist eine Überleitung zu dem Prinzip der bedeutungsvollen Zahlen,

da die Lichtgeschwindigkeit nicht genau 3 mal 10 hoch 8 beträgt, sondern

2,997 irgendwas, da sind sehr viele Ziffern in dieser Zahl,

die für alltägliche Berechnungen nicht von Bedeutung sind.

Wir runden sie auf. Wir sagen, dass sie 3 mal 10 hoch 8 ist.

Oder vielleicht, um genauer zu sein, sagen wir 2.997 mal 10 hoch 3

aber die Zahlen danach interessieren uns nicht.

Merk dir das. Wir reden später noch einmal darüber.

Die zwei Hauptvorteile des Gleitkommas sind Geschwindigkeit und Effizienz.

Geschwindigkeit, weil das Gleitkomma über viele Jahre entwickelt wurde

und heute Computer super schnell damit umgehen können.

Und Effizienz, weil es mit sehr, sehr großen Zahlen,

gigantischen Zahlen, "Größe des Universums" Zahlen,

und winzigen Zahlen, "Größe eines Atoms" Zahlen,

ohne viel Platz zu benötigen, umgehen kann.

Wenn du ein Format hättest, das sowohl die Größe des Universums

als auch die Größe eines Atoms umfassen müsste, müsstest du so viele Nullen an beiden Enden speichern,

oder man bräuchte etwas für den Computer besonders kompliziert zu Lösendes,

was entweder sehr ineffizient ist, eine Zahl als Megabyte speichern,

oder du bräuchtest etwas, was sehr knifflig für den Computer wäre,

wenn er versucht die Zahlen und Nullen überall zu setzen.

Lass uns über die Basis 10 reden. Lass uns über uns reden - Menschen.

Lass uns darüber reden, dass plötzlich die Lichter an sind. Das ist merkwürdig.

Im Dezimalsystem, unseren normalen, menschlichen Zahlensystem,

also zehn Zahlen - Basis 10,

haben wir Hunderter, Zehner und Einser. Das lernst du in der Grundschule.

Und hier hast du Zehntel, Hundertstel und Tausendstel.

Also wenn du "Ein Zehntel" dezimal ausdrückst, ist es 0,1.

Und das ist normal und natürlich.

Basis 2, auf der anderen Seite, das Binärsystem, Computer, verhalten sich nicht so.

Sie sehen vieren, zweien und Einser.

und hier Hälften, Viertel, Achtel und Sechzehntel.

Es gibt keine 0,1.

Tatsächlich ist 0,1 im Binären "0,00011" und diese "0011" wiederholen sich periodisch.

Eigentlich ist 0,1 0,00011001100110011 bis ins Unendliche.

Das ist sehr interessant, da die 32 Bit Computer,

die wir normalerweise benutzen (Wir haben jetzt ein paar Fortschritte gemacht),

nur 32 signifikante Stellen speichern.

Sie speichern auch die Position des Dezimaltrennzeichen.

Im Grunde führen sie die wissenschaftlich Schreibweise in Basis 2 aus. Das ist was eine Gleitkommazahl ist.

Sie sagen, "Okay, wir haben diese sehr lange binäre Zahl

mal 2 hoch irgendwas."

Und da liegt das Problem. Denn was es verliert ist Genauigkeit,

es versteht keine Wiederholung.

Es gibt eine Analogie für das Dezimalsystem:

Wenn du ein Drittel als Dezimalzahl schreibst, schreibst du

Hunderter, Zehner, Einser, Zehntel Hundertstel, Tausendstel,

und dann versuchen wir das zu schreiben und haben 0.33333333... das sich wiederholt.

Nun stell dir vor, dass du keine sich wiederholenden Zahlen verstehst, wie ein Computer,

wie die wissenschaftliche Notation, wenn du die Wiederholung wegnimmst,

wie es die Gleitkomma-Rechenart nicht tut.

Hier führen wir alle Stränge zusammen.

Wenn du im Dezimalsystem bist, sagen wir, du hast 1/3 + 1/3 +1/3,

denkst du als Mensch "Naja, das ist 0.3 Periode + 0.3 Periode

+ 0.3 Periode, und das zusammmen ergibt 1.

Aber wenn du ein Computer bist, der keine Wiederholung versteht,

weil Gleitkommamathematik im Grunde den Signifikanten Zahlen entsprechen.

Also ein Computer würde sich das anschauen und sagen: "0.33333333333....

+ 0.333333... + 0.333..." Der Computer würde also sagen:

"Also, 1/3 + 1/3 + 1/3 ist insgesamt 0.9999999999999..."

Nach einer Weile hört er auf, weil er keine Stellen mehr übrig hat.

Dies ist ein Gleitkomma- Rundungsfehler.

Lass uns mal mit dem Binärsystem rechnen. 1/10 + 2/10.

Das ist 0.00011001100110011... Oh! Es sind keine Stellen mehr übrig.

Weil Gleitkommarechnung auf einem 32-Bit Computer nur 23 Stellen speichert.

Und dann versuchst du 2/10 zu addieren, also 0.001100110011...

Ich werde nicht versuchen, das auszurechnen, das würde ewig dauern,

aber es passiert das Gleiche, wie das, was hier passiert.

Nach 23 Stellen in einem 32-bit Rechner (Ich denke, dass es 56 in einem 64bit-Computer sind)

wird es abgeschnitten. Es versteht keine Periode,

was bedeutet, dass das Gleitkomma sich die 1/10 + 2/10 anschaut, die du gerade eingegeben hast,

also 0,1 + 0,2 dezimal ausgedrückt, und meint, dass 1/ 10 + 2/10

nicht genau 3/10 ergeben.

Nach seiner Denkweise ist das nämlich nicht das Ergebnis.

In fast allen Fällen ist es nah genug dran,

in den meisten Fällen braucht man nicht mehr Präzision als 23 binäre Stellen.

Und falls doch, nimmt man einen 64-Bit Computer.

Wenn du ein 3D-Spiel programmierst und du wissen musst, wohin du mit etwas auf den Bildschirm zeigen musst,

ist es egal, ob es 1/100000 eines Pixels abweicht,

weil es immer noch an der richtigen Stelle ist.

Und wenn du große Berechnungen durchführst, ist es egal, ob ein winzig kleiner Bruch

-kleiner als ein Molekül- abweicht,

weil es mehr oder weniger richtig aussieht,

besser, als womit die richtige Welt umgehen könnte.

Aber wenn du mit Währungen rechnest, und du

10 Pence oder 0,1 Pfund zu 20 Pence addierst, jeder Programmierer muss so etwas irgendwann mal machen,

lösen wir es so. Das ist einfach.

Ein Computer würde aber sagen: " Es sind aber eigentlich ... so viele Pence."

Un in diesen menschlichen Angelegenheiten fällt uns dieser Fehler auf,

weil er uns plötzlich sehr offensichtlich scheint.

Das ist das Problem mit dem Gleitkomma. Wenn du mit Währungen umgehst, könntest du das Problem lösen, mal nebenbei gesagt,

indem du Dezimalzahlen in weiter fortgeschrittenen Programmiersprachen benutzt

oder einfach alles als Ganzzahl, also Pennys, Cents etc. speicherst

und am Ende durch Hundert teilst.

Das Gleitkomma verwirrt viele Menschen.

Du bekommst es schwer in deinen Kopf bis du verstehst, dass es nur wissenschaftliche Schreibweise ist.

Es entspricht dem, was wir im Mathematikunterricht gelernt haben, nur im Binärsystem.

Es sind Hälften und Viertel und Achtel,

und wenn du einmal verstanden hast, das es eine festgelegte Länge von Zahlen speichert

und dann herausfindet wo, das Komma ist und es nur signifikante Zahlen gibt,

wird es viel einfacher. Und du beginnst zu verstehen:

"Oh, darum ist, wenn ich 0.1 + 0.2 eintippe das Ergebnis nicht 0.3