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The hardest problem on the hardest test - YouTube
Channel: 3Blue1Brown
[4]
你们听说过普特南数学竞赛吗？
[5]
这是一个面向美国本科生的数学竞赛
[8]
竞赛时长6小时 一共只有12道题目
[11]
而且分成上下两场 每场3小时
[14]
每道题的得分最低0分 最高10分
[16]
所以满分就是120分
[19]
然而 尽管每年来参加这个竞赛的
[23]
很明显都是那些对数学相当感兴趣的学生
[26]
但是分数的中位数也常常只有一两分
[29]
所以说 这个竞赛很难
[31]
而且对于每场的六个问题来说
[33]
从第一题到第六题 难度也在上升
[37]
当然了 难不难是因人而异的
[40]
但是说到第五题和第六题
[42]
虽然它们都是超难竞赛中的压轴难题
[46]
但通常来说 它们也有着最为精妙的解法
[50]
稍微转换一下视角 极具挑战性的问题就不再无从下手了
[56]
我想在这里和大家分享一道题
[57]
好早以前某届普特南数学竞赛中的第六题
[61]
关注这个频道的朋友们都知道
[62]
我并不会直接公布答案
[65]
而且这道题的答案出人意料地简短
[67]
如果可能的话 我愿意花点时间让你明白
[69]
你如何能够独立探索出问题的答案
[72]
以及重要的想法是怎么来的
[74]
也就是说 视频重点关注的是解答问题的过程
[77]
而不是用到这个思路的问题本身
[80]
总之 问题是这样的：
[81]
在球面上随机选择四个点
[84]
然后考虑以它们为顶点的四面体
[88]
那么球心落在四面体内部的概率是多少？
[93]
花点时间 稍微琢磨一下这个问题
[97]
你可能会想
[98]
哪些四面体包含了球心 哪些四面体没有
[102]
如何系统地区分这两种情况
[105]
还有 你要怎样处理这种问题呢？
[108]
要从何下手呢？
[111]
通常来说 从问题的简单情形入手是一个好办法
[113]
所以我们把问题简化到二维来
[116]
此时 你要在圆上随机选择三个点
[119]
用符号标记更加方便
[121]
所以用P_1 P_2 P_3表示这三个点
[124]
问题就是
[125]
这三个点形成的三角形包含圆心的概率是多少？
[134]
我觉得你也会认为这样更容易想象了
[137]
但是问题依然很困难
[139]
所以你想知道
[140]
能不能简化一下问题
[142]
找到一个立足点 方便继续思考
[145]
或许你会想 先固定P_1和P_2的位置
[148]
只允许第三个点移动
[151]
你这么做的时候 在脑子里比划比划
[154]
你可能会注意到一个特殊区域 一段弧
[157]
P_3落在这条弧上时 三角形就包含圆心 否则就不包含
[162]
具体来说 如果分别过P_1和P_2以及圆心做直线
[166]
这两条直线会把圆分成四段弧
[169]
如果P_3恰好落在P_1和P_2对面的弧上
[174]
那么三角形就包含圆心
[175]
如果P_3落在其他弧上 那就不行
[181]
我们假定取到圆上任一点的概率相同
[184]
那么P_3落在这条弧上的概率是多少？
[188]
答案就是这段弧的长度除以圆的周长
[192]
也就是这段弧占整个圆的比例
[195]
那这个比例是多少呢？
[197]
很明显 这和前两个点的位置有关
[200]
如果它们之间相差90°
[202]
那么对应的弧就是1/4个圆
[205]
如果这两个点离得很远
[207]
比例就会更接近1/2
[209]
如果这两个点靠得很近
[211]
比例就更接近0
[213]
花点时间思考一下
[215]
P_1和P_2都是随机选出的
[217]
而任一点被取到的概率相同
[220]
那这段弧的平均长度是多少呢？
[226]
你或许会固定P_1
[228]
只考虑P_2所有可能的位置
[231]
这两条直线形成的所有可能的夹角
[234]
也就是从0°到180°之间的所有角度
[237]
出现的概率都一样
[238]
所以 从0到0.5之间的每个比例出现的概率也一样
[243]
这就意味着 平均比例就是0.25
[248]
所以 如果这段弧的平均长度是圆周长的1/4
[251]
第三个点落在这段弧上的平均概率就是1/4
[256]
也就是说 三角形包含圆心的概率是1/4
[266]
但是我们能把它推广到三维情况吗？
[269]
一共四个点 如果其中三个点固定不动
[273]
第四个点要落在球面的哪些位置
[276]
才能让形成的四面体包含球心？
[281]
和之前一样
[282]
我们分别过这三个点以及球心做直线
[287]
这些直线两两确定一个平面 画出这些平面也很有用
[293]
你可能注意到了 这些平面把球面分成了八个区域
[298]
每个区域都有点像球面三角形
[301]
要想让形成的四面体包含球心的话
[305]
第四个点就必须落在前三个点相对的球面三角形上
[311]
和二维情况不同
[313]
让最初的三个点变化 然后求这个区域的平均面积
[316]
这就很困难了
[321]
掌握多元微积分的朋友可能会想：
[324]
用曲面积分试试看
[326]
不妨拿出纸笔算一算吧
[328]
但是这并不简单
[330]
当然了 这道题本来就应该很难
[331]
这是普特南数学竞赛的第六题啊 你指望它能有多简单？
[335]
更何况 算出了三角面积又有什么用呢？
[339]
你可以回头看看二维的情况
[342]
仔细想想 是否可以通过别的方法解出问题
[346]
“1/4”这个答案看上去异常简洁
[349]
这也提出了一个问题：“4”代表着什么？
[353]
我之所以要特别为这个问题做一期视频 主要的原因之一是
[357]
接下来的事情 对求解数学问题有广泛的参考价值
[361]
回想我们之前画出的以P_1与P_2为端点 通过圆心的两条线
[366]
这两条线让问题更容易思考了
[368]
一般而言 只要你往原问题中添加了新东西
[371]
使得问题的概念更简洁的话
[373]
那就看看 你能否将整个问题只用加进来的新东西来重新叙述
[378]
在这里 我们不再考虑随机选择三个点
[383]
而是考虑
[384]
随机选择两条过圆心的直线
[388]
每条直线都对应着圆上的两个点
[391]
所以就二选一 确定哪个端点是P_1
[396]
类似地 在另一条直线上确定哪个端点是P_2
[399]
随机选择一条直线 然后二选一确定端点
[401]
这种做法就等于随机在圆上选取一点
[404]
乍一看 这让人感觉有点绕弯子
[407]
但之所以用这种方式来考虑随机过程
[410]
是因为这能让事情变得简单许多
[413]
我们依然认为点P_3不过是圆上的任意一点
[418]
但我们是在扔两次硬币前就确定好P_3了
[422]
因为你看嘛 一旦这两条线和第三个点定死了以后
[426]
P_1和P_2落在哪里 依扔硬币的结果而定就只有四种情况了
[431]
每种情况都是等可能的
[433]
但是 有且仅有一种情况
[436]
能使得P_1和P_2在圆上落在P_3的对面
[440]
因此三点围成的三角形能包含圆心
[443]
所以说 不管这两条线或者P_3点最后落在哪里
[447]
扔硬币总是会给我们1/4的机率使得 三角形包含圆心
[455]
这就很巧妙了
[456]
重新修改一下我们随机选点的顺序
[461]
1/4这个答案就以一种很不一样的方式蹦了出来
[465]
重要的是 这种推导过程可以毫无痕迹地被推广至三维
[471]
再来一次 这次我们从选四个随机点开始
[475]
想象一下 任选三条穿过球心的线
[479]
再随便来一个点P_4
[483]
第一条线与球面相交于两点
[485]
扔个硬币 决定一下哪个点是P_1
[489]
类似地 扔硬币决定P_2和P_3的落点
[495]
扔硬币就有8种等可能的结果
[498]
但有且仅有一种结果
[500]
能使P_1 P_2和P_3处于与P_4相对的位置上
[506]
所以这8个概率一样的结果中 有且仅有一个
[510]
能让我们得到包含球心的四面体
[515]
这个结果再一次以巧妙的方式出现在了我们的面前
[517]
但是 这的确很简洁啊
[520]
这就是此问题的一个确实的解了
[522]
但是必须承认 到目前为止我的讲解都是基于几何直观的
[527]
如果你有点好奇 应该如何不依靠几何直观来写出这个解的话
[531]
我在简介里留了个解答的链接
[533]
它用线性代数的语言解答了这个问题
[536]
这在数学中是挺常见的：
[537]
理解问题并知道关键是一回事
[541]
但有相关背景知识 能更正式更清晰地阐述这个理解
[545]
基本就完全是另一码事了
[547]
这种能力也是数学系本科生要花大时间来培养的
[552]
你应该从本题中学到的并不是这个解本身
[554]
而是如果是你来做这道题的时候 应该怎么找到关键的想法
[560]
也就是说 不断去找这个问题的简化版本
[563]
直到你能找到个落脚点为止
[565]
在这么做的过程中
[566]
如果你发现有什么新添的结构能为自己所用
[570]
就试试看能不能根据这些新构造来重述整个问题
[575]
视频结束之前 我还有一个关于概率的问题
[578]
这个问题取自这期视频的赞助商Brilliant.org
[581]
假设八个参加普特南数学竞赛的学生环坐在一起
[585]
竞赛很难 所以每个学生都试图抄邻座的答案
[588]
而且是随机选择一个邻座来抄
[591]
现在圈出所有没被抄到的学生
[596]
被圈出的学生数目的期望值是多少？
[600]
这个问题很有趣 对吧~
[603]
Brilliant.org就是个能让你用许许多多类似的问题
[606]
来锻炼自己解题能力的地方
[608]
这也的确是最好的学习方式
[611]
你能找到数不胜数的有趣问题
[613]
而它们都被组织得很有深度
[614]
所以你一定会在解题方面有所提高的
[618]
如果你还想探索更多的可能性
[619]
他们也有相当棒的概率课程
[621]
当然 他们也有各种其他的数理课程
[623]
所以你怎么着都能找到点你感兴趣的东西的
[627]
我嘛 我是已经用这个好久了
[628]
如果你访问brilliant.org/3b1b
[632]
他们就知道你是从这个频道来的了
[634]
前256位通过此链接访问的同学可以得到他们高级会员的八折优惠
[639]
如果你考虑升级一下的话 我就是用的这个
[642]
还有 如果你心痒难耐想看这个问题的解答的话
[645]
插一句 这个解使用了概率论中的一个策略
[648]
该策略在其他情况下也很有用
[650]
我也在简介中留了链接 点一下你就能直接看到答案了
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