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But why is a sphere's surface area four times its shadow? - YouTube
Channel: 3Blue1Brown
[3]
你们中的一些人可能在学校里看到了
一个球体的表面积是4pi * R ^ 2，一个可疑的
[9]
鉴于这是一个干净的暗示公式
pi * R ^ 2的倍数，圆的面积
[15]
相同的半径。但你有没有想过
为什么这是真的？而且我不仅仅意味着
[20]
证明这个4pi * R ^ 2公式，我的意思是内心
感觉这个表面之间的联系
[26]
区域，这四个圈子。
[29]
如果有一些转变，那会多么可爱
从透视图中可以看出你的表现如何
[33]
并完美地适应这四个圆圈
球体的表面？什么都不是
[39]
这很简单，因为球体的曲率
表面不同于曲率
[43]
一架平面飞机，这就是试图装纸的原因
围绕球体并不真正起作用。尽管如此，
[51]
我想告诉你两种思维方式
关于这个表面区域连接它
[56]
满足这些圈子的方式。首先
是一种经典的，几何的真正宝石之一
[62]
所有学生都应该体验。第二
推理线是我自己的
[70]
在球体之间绘制更直接的线
和它的影子。
[74]
最后，我将分享为什么这四倍
关系不是球体独有的，而是
[79]
而是更多的一个特定实例
3d中所有凸形的一般事实。
[86]
从鸟瞰图开始，这个想法
第一种方法是表明
[89]
球体的表面积与之相同
具有相同半径的圆柱面积
[95]
和球体的高度相同。更确切地说，
什么，没有它的顶部和底部的圆柱体
[100]
你可以称之为那个圆柱体的“标签”。
有了这个，我们可以解开那个标签来理解
[106]
它是一个简单的矩形。
[109]
这个矩形的宽度来自
圆柱的周长，所以它是2 * pi * R，
[115]
而高度来自于高度
球体，即2R。这已经给了
[121]
公式，4pi * R ^ 2，但在数学精神
好玩，很高兴看到四个圈子
[128]
半径R适合这个。这个想法就是这样
你可以将每个圆圈打开成三角形，
[136]
不改变它的面积，并很好地适应这些
在我们展开的圆筒标签上。更多关于
[142]
一点点。
[143]
更紧迫的问题是为什么在地球上
球体可以与圆柱体相关。
[148]
这个动画已经暗示了如何
这很有效。这个想法是近似的
[155]
球体的区域有许多小的矩形
覆盖它，并展示你如何投射
[161]
那些小矩形直接向外，
好像通过小灯定位投射阴影
[166]
在z轴上指向与xy平行
平面，每个矩形的投影
[172]
非常令人惊讶的是，气缸结束了
具有与原始矩形相同的区域。
[178]
但为什么会这样呢？好吧，有两个
在这里发挥竞争效应。其中之一
[185]
这些矩形，让我们一起打电话
纬度线的宽度和侧面
[189]
沿着经度线的高度。在
一方面，这个矩形向外投射，
[195]
它的宽度将扩大。对于矩形
朝着两极，这个长度相当大
[203]
有点，因为他们的投射时间更长
距离。对于那些离赤道更近的人来说
[211]
不那么
[214]
但另一方面，因为这些矩形
相对于z方向倾斜，
[219]
在这个投影期间每个人的身高
这样的矩形将缩小。认为
[225]
关于拿着一些扁平物体看
在它的阴影下。在重新定向该对象时，
[230]
阴影看起来或多或少被压扁了
一些角度。那些矩形朝向
[235]
两极都是这样倾斜的，所以他们的
身高被压得很厉害。对于那些更接近
[242]
到赤道，不那么。
[247]
事实证明，这两种效应
伸展宽度和压扁高度，
[253]
完全取消对方。
[256]
已经是粗略的草图了，不是吗
同意这是一种非常漂亮的推理方式？
[260]
当然，这里的肉来自展示
为什么这两个竞争对每个矩形的影响
[265]
完全取消。在某些方面，细节
充实它就像它一样漂亮
[269]
缩小了完整参数的结构。
[274]
让我继续前进，切掉一半的球体
所以我们可以更好看。对于任何数学
[279]
问题解决从来没有伤害过
给事物起名字。让我们说半径
[284]
球体是R.专注于一个具体的
矩形，让我们调用它们之间的距离
[290]
我们的矩形和z轴是d。你可以
抱怨这个距离d有点儿
[296]
暧昧取决于哪个点
你要去的长方形，但更小的
[301]
模棱两可的更小的矩形
可以忽略不计。而且更小，更小
[307]
这种近似与矩形越来越接近
无论如何，到真正的表面区域。选择
[312]
任意标准让我们说d是
距矩形底部的距离。
[317]
想想伸出缸子，
图片两个相似的三角形这是第一个
[324]
一个人用矩形的底部分享它的基础
在球体上，并有一个相同高度的尖端
[330]
在z轴上距离d-away。第二
是一个按比例放大的版本，按比例缩放
[337]
它刚刚到达圆筒，
意思是它的长边现在有长度R.所以
[343]
他们的基数比例，这是多少
我们的矩形宽度伸展开来，
[348]
是R / d。
[352]
高度怎么样？多么准确
在我们投射时缩小规模？再次，
[357]
让我们在这里切片横截面。事实上，
为什么我们不继续完全专注
[362]
我们对这个2d横截面的看法。
[365]
考虑一下投影，让我们来做
像这样的小三角形，在哪里
[370]
是我们的球形矩形的高度
是斜边，它的投射是一个
[375]
的腿。专业提示，随时随地
几何与圆圈或球体，保持
[381]
任何切线都是你心灵的最前沿
圆圈垂直于半径
[386]
被吸引到那个相切点。这很疯狂
一个小事实是多么有用。一旦
[394]
我们绘制了径向线，以及
距离d我们有另一个直角三角形。
[401]
通常在几何学中，我喜欢想象调整
设置的参数和想象如何
[405]
相关的形状改变;这有助于
猜测有什么关系。
[411]
在这种情况下，您可能会预测这两者
我绘制的三角形与每个三角形相似
[415]
另外，因为他们的形状会改变
彼此。确实如此，但是
[421]
一如既往，不要相信我的话，看
如果你能为自己证明这一点。
[426]
同样，给更多的名字永远不会伤害
的东西。也许把这个角度称为alpha和这个
[432]
一个测试版。由于这是一个直角三角形，
你知道alpha + beta + 90度= 180
[440]
度。现在放大我们的小三角形，
看看我们是否可以弄清楚它的角度。您
[448]
有90度+β+（某个角度）形成
一条直线。所以那个小角度必须
[460]
是阿尔法。这让我们可以填写更多内容
价值观，揭示了这个小三角形
[467]
具有相同的角度，α和β，如
大的一个。所以他们确实很相似。
[473]
在杂草深处，有时容易
忘了为什么我们这样做。我们想
[479]
知道我们的球体矩形的高度
在这个投影期间被压扁了
[484]
是这个斜边与腿部的比例
在右边。与大相似
[491]
三角形，该比率是R / d。
[494]
确实如此，这个矩形被投射出来了
向外放到圆筒上，伸展的效果
[500]
宽度完全取消了
由于这个高度，高度被压扁了多少
[505]
倾斜。
[506]
作为一个有趣的旁注，您可能会注意到它
看起来像投影的矩形是90
[511]
原始程度的旋转。这个会
一般来说不是真的，但巧妙的巧合，
[517]
我正在参与球体结果的方式
在矩形中宽度的比例
[522]
高度从d开始到R.所以
这个非常具体的案例，重新调整宽度
[528]
通过R / d和d / R的高度实际上是这样的
具有与90度旋转相同的效果。
[537]
这有点像一种奇怪的方式
动画关系，而不是
[540]
投射每个矩形块，你旋转
每一个并重新排列它们以制作圆柱体。
[552]
现在，如果你真的在批判性地思考，
你可能仍然不满意这一点
[560]
表明球体的表面积
等于此圆柱标签的面积
[564]
这些小矩形只接近
相关领域。嗯，这个想法就是这个
[569]
近似越来越接近
真正的价值，更精细和更精细的覆盖物。
[575]
因为任何特定的覆盖，球体
矩形与圆柱体具有相同的面积
[580]
矩形，无论这些都是什么价值
两个系列的近似值即将到来
[585]
实际上必须是一样的。
[587]
我的意思是，当你真正积极地进行哲学思考时
关于表面积我们甚至是什么意思，这些
[593]
各种矩形近似而不是
只是帮助我们解决问题的工具箱，
[597]
他们最终成为一种严格的方式
定义光滑曲面的区域。
[605]
这种推理主要是微积分，
只是说没有任何行话。在
[609]
事实上，我认为整齐的几何论点就像
这个，在微积分中不需要背景
[614]
了解，可以作为一个很好的方式
为新的微积分学生做好准备
[619]
在看到之前他们有核心想法
相反，这些定义使它们变得精确
[624]
而不是相反。
展开圆圈
[628]
正如我之前所说，如果你很想
看到与四个圆圈的直接连接，一个
[634]
不错的方法是将这些圆圈展开成三角形。
如果这是你以前没见过的东西，
[640]
我会详细介绍为什么会这样
适用于微积分系列的第一个视频。
[645]
基本思想是将薄同心关联起来
水平切片的圆环
[651]
这个三角形。因为那个圆周
每个这样的环的比例线性增加
[657]
至半径，始终是半径的2pi倍，
当你打开它们并将它们排成一行时，
[663]
他们的目的将形成一条直线，给予
你是一个基数为2pi * R的三角形，和a
[671]
R的高度，而不是其他一些弯曲的
形状。
[673]
这些未包裹的圆圈中有四个适合
我们的矩形，在某种意义上是一个未包装的
[679]
球体表面的版本。
第二个证据
[683]
不过，你可能想知道是否存在
比这更直接地关联球体的方法
[688]
到一个半径相同的圆，而不是
经过这个圆筒的中介。
[692]
我确实有这方面的证明，
利用一点三角学，虽然我
[697]
不得不承认我仍然认为比较
气缸赢得了优雅。
[700]
我坚信最好的方法
真正学习数学就是自己做问题，
[707]
来自一个有点虚伪的人
通道主要由讲座组成。
[710]
所以我会尝试一些不同的东西
在这里，并提出证据作为一个重要的指导
[715]
练习序列。是的，我知道那是
不那么有趣，这意味着你必须退出
[720]
一些文章做了一些工作，但我保证
你会通过这种方式获得更多。
[726]
方法是将球体切割成
许多环平行于xy平面，并且
[732]
比较这些戒指的面积与面积
他们在xy飞机上的阴影。一切
[739]
来自北半球的戒指的阴影
组成一个与半径相同的圆
[743]
球，对吗？主要想法是展示
这些环影之间的对应关系，
[749]
和球体上的其他环。挑战
这里的模式是暂停，看看你是否可以
[755]
预测可能会如何发展。
[758]
我们将基于这些环标记每一个
在一条线之间的角度θ
[764]
球体的中心到环和z轴。
所以theta的范围从0到180度，其中
[774]
就是说从0到pi弧度。让我们来吧
将一个环的角度变化称为
[779]
下一个d-theta，意思是厚度
其中一个环是半径，
[785]
R，乘以d-theta。
[786]
好吧，有条理的运动时间。好
通过热身来轻松自如
[792]
问题1：什么是周长
在R的内边缘处的这个环
[799]
和theta？来吧，再加上你的答案
厚度R * d-θ得到近似值
[808]
这个戒指的区域;和近似
当你切碎时，这会越来越好
[812]
球体越来越精细。
[816]
在这一点上，如果你知道你的微积分，
你可以整合。但我们的目标不仅仅是
[822]
要找到答案，就要感受到这种联系
球体之间的阴影。所以…
[829]
问题2：影子的面积是多少
在xy平面上的这些环之一？再次，
[835]
以R，theta和d-theta表示。
[849]
问题＃3：每个环形阴影都有
恰好是其中一个戒指面积的一半
[856]
在球体上。这不是一个角度
theta直接在它上面，但另一个。
[863]
哪一个？
（作为提示，您可能想要参考一些
[866]
触发身份）
问题＃4：我在一开始就说过
[877]
所有阴影之间的对应关系
北半球，构成一个圆圈
[881]
半径为R，并且每个其他环都在
球。使用你对最后一个问题的回答
[887]
准确说明那个对应关系
是。
[897]
问题5：把它带回家，为什么会这样
意味着圆圈的区域是完全正确的
[901]
特别是球体的表面积的1/4
因为我们考虑更薄更薄的环？
[908]
如果你想要答案或提示，我就是
确保人们在评论和reddit上
[912]
会让他们等你。
[915]
最后，我不应该做出一个
简要提到表面的事实
[919]
球体的区域是一个特定的实例
一个更普遍的事实：如果你采取任何
[925]
凸形，并看平均面积
所有可能的平均值
[931]
三维空间中的方向，表面积
固体的精确度将是其4倍
[937]
平均阴影面积。
[939]
至于为什么这是真的，我会留下那些
另一天的详细信息。
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