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Probability density functions | Probability and Statistics | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
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Im letzten Video habe ich den Begriff der Wahrscheinlichkeits...
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wir haben eigentlich mit Zufallsvariablen begonnen,
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dann fuhren wir fort mit zwei Arten von Zufallsvariablen,
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Wir hatten die diskreten, die eine endliche Anzahl von Werten annehmen konnten,
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und ich wollte sagen, dass diese häufig ganze Zahlen seien,
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aber sie müssen nicht immer ganze Zahlen sein.
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Man hat die diskreten, und "endlich" heißt hier, dass man nicht
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unendlich viele Werte für eine diskrete Zufallsvariable haben kann.
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Und dann haben wir die kontinuierlichen, die eine
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unendliche Anzahl von Werten annehmen können.
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Und das Beispiel, das ich gab, für kontinuierlich, war:
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wir haben eine Zufallsvariable x
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und man benutzt - ich ändere das ein bisschen,
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so dass man sieht, dass es auch anders heißen kann als x,
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sagen wir, wir haben die Zufallsvariable Groß-Y
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- man verwendet häufig Großbuchstaben -
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entspricht der genauen Menge von Regen am morgigen Tag.
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Und ich meine auch Regen, weil ich komme aus Nord-Kalifornien.
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Es regnet tatsächlich ganz schön stark zur Zeit.
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Es war trocken bislang, insofern ist es positiv.
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Wir waren in so etwas wie einer Dürrezeit, also ist alles gut.
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Also die genau Menge an Regen am morgigen Tag.
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Und sagen wir mal, ich weiß nicht genau, wie die
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Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür aussieht, aber ist wähle eine
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und wir versuchen, diese zu verstehen.
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Nur damit ihr versteht, wie man kontinuierliche Zufallsvariablen
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auffassen kann.
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Ich zeichne jetzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder man
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sagt auch, es ist ihre Wahrscheinlichkeitsdichte.
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Und das zeichnet man so...
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Sagen wir mal, so... es sieht ungefähr so aus.
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Ungefähr so.
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Gut, und ich weiß nicht, was die Höhe bedeutet.
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Also die x-Achse ist die Menge an Regen.
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Das hier ist 0 Inch, das ist 1 Inch, das ist 2 Inch,
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das ist 3 Inch, 4 Inch.
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Und dann gibt es eine Höhe.
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Sagen wir, es ist hier am höchsten, weiß nicht,
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vielleicht 0,5.
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Also wie versteht man das? Wenn du das anschaust und
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ich frag dich, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y
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- denn das ist unsere Zufallsvariable - dass Y ganz
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genau 2 Inch groß ist?
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Dass Y genau 2 Inch groß ist.
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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das der Fall ist?
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Naja, wenn bedenken, wie wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung
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für diskrete Zufallsvariablen benutzt haben, dann
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sagen wir OK, mal sehen.
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2 Inch, das wollen wir haben.
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Wir gehen hier hoch.
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Du würdest sagen, es sieht so nach 0,5 aus.
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Und du würdest sagen, weiß nicht, ist die Wahrscheinlichkeit vielleicht 0,5?
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Und ich würde sagen, nein, es ist nicht 0,5.
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Und bevor wir das jetzt visuell interpretieren,
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sollten wir logisch darüber nachdenken.
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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir morgen
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genau 2 Inch Regen haben werden?
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Nicht 2,01 Inch Regen, nicht 1,99 Inch Regen.
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Nicht 1,99999 Inch Regen, nicht 2,0000001 Inch Regen.
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Haargenau 2 Inch Regen.
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Ich meine, nicht mal ein einziges Atom, also Wassermolekül,
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mehr als die 2-Inch-Marke.
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Und nicht ein einziges Wassermolekül unter der 2-Inch-Marke.
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Das ist im Grunde Null, richtig?
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Das mag jetzt unintuitiv sein, weil ihr vielleicht gehört habt,
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dass wir 2 Inch Regen hatten letzte Nacht.
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Aber denkt mal nach, ganz genau 2 Inch?
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Normalerweise, wenn es 2,01 ist, dann sagt man 2.
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Aber wir sagen hier nein, das zählt nicht.
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Das sind nicht 2 Inch.
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Wir wollen haargenau 2.
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1,99 zählt nicht.
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Normalerweise haben wir noch nicht mal Messgeräte,
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um zu messen, ob es genau 2 Inch sind.
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Kein Lineal kann exakt 2 Inch messen.
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An irgendeiner Stelle, so sind die Dinge nun mal,
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wird es ein überzähliges Atom geben, hier und da.
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Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwas ganz genau
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einer Maßzahl entspricht, bis in alle Nachkommastellen,
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ist eigentlich Null.
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Wenn wir über kontinuierliche Zufallsvariablen sprechen,
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könnte man fragen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y ungefähr 2 ist?
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Wenn wir also sagen: der Betrag von Y - 2 ist
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geringer als ein Tolenranzwert?
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Ist geringer als 0,1.
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Wenn ihr das seltsam findet, dann kann man
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auch sagen: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y
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größer ist als 1,9 und kleiner als 2,1?
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Die beiden Aussagen sind äquivalent.
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Ich lass euch mal drüber nachdenken.
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Aber vielleicht klingt es jetzt weniger seltsam.
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Jetzt haben wir hier ein Intervall.
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Wir haben alle Y's zwischen 1,9 und 2,1.
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Das heißt jetzt geht es um diese Fläche hier.
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Und das ist wichtig: die Fläche.
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Wenn man wissen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das passiert,
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dann muss man die Fläche unterhalb der Kurve messen,
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von diesem Punkt bis zu diesem Punkt.
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Und wenn ihr Analysis gemacht habt, dann wisst ihr,
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das entspricht dem bestimmten Integral dieser
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Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von hier bis hier.
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Also von... wartet mal, ich hab keinen Platz mehr.
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Sagen wir, dieser Graph... ich zeichne den mal
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in einer anderen Farbe.
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Wenn diese Linie definiert wird durch f(x).
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Ich könnte es auch p von x nennen oder sonstwie.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert, ist gleich
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dem Integral, für alle, die Analysis gemacht haben,
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von 1,9 bis 2,1 von f(x) dx.
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Wobei das hier die x-Achse ist.
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Also das ist echt wichtig.
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Denn wenn eine Zufallsvariable eine unendliche Anzahl von Werten
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annehmen kann oder wenn es jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen kann,
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wenn man dann einen exakten Wert nimmt, zum Beispiel 1,999,
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dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null.
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Das ist, als ob du fragst, wie groß ist die Fläche unterhalb
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der Kurve auf nur dieser Linie hier.
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Oder, noch genauer, als ob du fragst,
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was ist die Fläche einer Linie?
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Die Fläche einer Linie, wenn du eine Linie zeichnest,
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würdest du sagen, Fläche ist Höhe mal Breite.
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Nun ja, die Höhe ist vorhanden, aber die Breite,
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wie breit ist eine Linie?
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So wie wir normalerweise eine Linie definieren, hat sie keine Breite
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und deshalb hat sie auch keine Fläche.
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Und das sollte intuitiv klar sein.
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Dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein superexaktes Ding stattfindet
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ziemlich genau Null ist.
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Deshalb musst du eigentlich fragen, OK, wie hoch ist die
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Wahrscheinlichkeit, dass wir der 2 nahekommen?
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Und dann kannst du die Fläche definieren.
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Und wenn du sagst, oh, wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit,
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dass 1-3 Inch Regen fallen, dann ist
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die Wahrscheinlichkeit viel höher.
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Die Wahrscheinlichkeit viel höher.
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Das entspricht dem ganzen hier.
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Du kannst auch fragen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
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dass wir weniger als 0,1 Inch Regen haben?
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Dann schaut man hier und wenn hier 0,1 wäre, dann
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berechnest du diese Fläche hier.
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Und du kannst fragen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir
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mehr als 4 Inch Regen haben morgen?
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Dann startest du hier und berechnest die Fläche der Kurve
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bis nach Unendlich, wenn die Kurve eine Fläche bis
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Unendlich hat.
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Und hoffentlich wird das keine unendliche Größe, richtig?
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Dann würde nämlich der Wahrscheinlichkeitswert keinen Sinn ergeben.
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Aber hoffentlich bekommt man aus dieser Summe eine endliche Zahl.
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Und, sagen wir mal, es gibt nur eine 10%ige Chance, dass
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morgen über 4 Inch Regen fallen.
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Und das alles sollte direkt zu der Erkenntnis führen,
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dass die Wahrscheinlichkeit von allen Möglichkeiten,
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die vorkommen könnten, nicht größer als 100% sein sollte.
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Richtig?
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Alle Möglichkeiten zusammen genommen - die Wahrscheinlichkeit,
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dass eine dieser Möglichkeiten eintritt, ist eins.
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Das heißt, die gesamte Fläche unter dieser Kurve
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ist eins.
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Wenn wir also das Integral von f(x) von 0 bis Unendlichkeit nähmen,
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so wie ich es gezeichnet habe, sollte gleich 1 sein.
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Für alle, die Analysis gemacht haben.
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Für alle anderen: ein Integral ist einfach
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die Fläche unter einer Kurve.
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Schaut euch einfach das Analysis-Video an, wenn ihr
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ein bisschen mehr darüber erfahren wollt.
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Und das gleiche gilt für diskrete Wahrscheinlichkeits-
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verteilungen.
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Ich zeichne mal eine.
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Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten
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muss eins sein.
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Und das Beispiel mit den Würfeln... oder nehmen wir
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die Münze, das geht schneller - die zwei Wahrscheinlichkeiten
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müssen gleich eins sein.
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Das ist 1 und 0, wobei x gleich 1, wenn es Kopf ist
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oder gleich 0, wenn es Zahl ist.
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Jede muss 0,5 sein.
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Also sie müssen nicht 0,5 sein, aber wenn eine 0,6 wäre,
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dann müsste die andere 0,4 sein.
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Sie müssen sich zu 1 aufaddieren.
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Wenn eine davon - du kannst nicht eine 60%-ige Wahrscheinlichkeit
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für Kopf haben und auch eine 60%-ige Wahrscheinlichkeit
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für Zahl.
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Weil dann hätte man eine 120%-ige Wahrscheinlichkeit,
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dass eins von beiden passiert und das
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macht wirklich keinen Sinn.
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Es ist also wichtig einzusehen, dass die Funktion
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einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, in diesem Fall von einer diskreten Zufallsvariablen,
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sich immer zu 1 aufaddiert.
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Also 0,5 plus 0,5.
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Und in diesem Fall muss die Fläche unter der Dichtefunktion
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gleich 1 sein.
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So, die Zeit ist um.
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Im nächsten Video werde ich das Konzept
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eines Erwartungswerts vorstellen.
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Bis bald.
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