🔍

Derivative as slope of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy - YouTube

Channel: Khan Academy

[0]

لقد تعرفنا اولاً على فكرة ميل الخط في بداية

[5]

دراستنا للجبر

[7]

لكنني اوجدت انه لا توجد مشكلة اذا قمنا بمراجعته

[8]

اذاً دعوني ارسم بعض المحاور

[10]

هذا هو محور y

[12]

ربما يجب ان اسميه محور f(x)

[15]

y = f(x)

[17]

دعوني ارسم محور x، هكذا، هذا هو محور x

[23]

ودعوني ارسم خط، دعوني ارسم خط هكذا

[28]

وما نريد ان نفعله هو ان نذكر انفسنا، كيف

[31]

نجد ميل هذا الخط؟

[36]

وما نفعله هو، نأخذ نقطتان على الخط

[42]

اذاً دعونا نفترض اننا سنأخذ هذه النقطة

[45]

لنفترض ان تلك هي النقطة x = a

[48]

ومن ثم ماذا ستكون هذه؟

[49]

هذه تكون النقطة f(a)، حيث ان الاقتران

[53]

سيكون عبارة عن خط ما

[54]

يمكننا ان نكتب ان f(x) سيساوي mx + b

[59]

نحن لا نعلم ما هما m و b

[61]

لكن هذا كله مجرد مراجعة

[62]

اذاً هذه a

[64]

ومن ثم ان قيمة y هي عبارة عن ما يحدث للاقتران عندما

[66]

تقيمه على a، اي تلك النقطة

[69]

ومن ثم يمكننا ان نأخذ نقطة اخر على هذا الخط

[71]

دعونا نفترض اننا نأخذ النقطة b الموجودة هنا

[74]

ثم ان هذا الاحداثي سيكون

[77]

النقطة b،f(b)

[82]

اليس كذلك؟

[82]

لأن تلك عبارة عن نقطة عندما تقيم

[83]

الاقتران على b

[84]

تضع b هنا، وستحصل على تلك النقطة

[87]

اذاً دعوني ارسم خطاً هنا

[89]

تلك هي f(b)

[92]

في الواقع، دعوني اوضح ان هذا الاحداثي الموجود هنا

[95]

هو النقطة a،f(a)

[98]

اذاً كيف نجد الميل بين هاتان النقطتان، او اكثر

[102]

بشكل عام، لهذا الخط كله؟

[103]

لأن الخط --ان الميل ثابت

[106]

عل طول الخط

[108]

ونحن نعلم انه عندما نجد الميل، فإنه

[110]

سيكون قيمة m هذه

[111]

تلك كلها مراجعة للجبر، لكن كيف نقوم بهذا؟

[114]

حسناً، يوجد عدة طرق للتفكير بالامر

[116]

الميل = الارتفاع / البعد

[125]

ربما انك قد رأيت ذلك عندما تعلمت الجبر لأول مرة

[127]

او لكتابته بطريقة اخرى ، انه التغير في

[129]

y / التغير في x

[133]

اذاً دعونا نجد ما هو التغير في y / التغير

[136]

في x لهذه الحالة

[138]

كم يساوي التغير في y؟

[142]

حسناً، دعونا نأخذ، يمكنك ان تأخذ هذه لتكون

[145]

النقطة الاولى، او تلك تكون النقطة الاولى

[146]

لكن بما ان هذه لها x اكبر و y اكبر

[149]

فدعونا نبدأ به

[150]

اذاً التغير في y الذي بين تلك وتلك هو هذه

[153]

المسافة، هناك

[155]

دعوني ارسم مثلثاً صغيراً

[156]

تلك المسافة عبارة عن التغير في y

[159]

او يمكنني ان انقل هذه الى محور y

[162]

هذا هو التغير في y

[164]

ذلك هو التغير في y، اي تلك المسافة

[166]

اذاً ما هي تلك المسافة؟

[167]

انها f(b) - f(a)

[171]

اذاً تساوي f(b) - f(a)

[177]

ذلك هو التغير في y

[181]

الآن ما هو التغير في x؟ الميل عبارة عن التغير

[185]

في y / التغير في x

[189]

فما هو التغير في x؟

[190]

اي ما هي تلك المسافة؟

[191]

تذكروا، اننا نأخذ هذه بحيث تكون النقطة الاولى

[193]

لقد اخذنا y - نقطة y اخرى

[196]

ولكي يكون ثابتاً، سيكون علينا ان نأخذ

[197]

نقطة x هذه - نقطة x هذه

[200]

احداثي نقطة x هذه هو b

[203]

لذا سيكون b - a

[209]

وكذلك، اذا كنتم تعرفون معادلة هذا الخط، او

[211]

اذا كانت لديكم احداثيات هاتين النقطتين، فسوف

[214]

تصلوهم هنا وتحصلون على الميل

[219]

ذلك مباشر

[220]

وهذا اتى مباشرة من مادة الجبر 1

[223]

ودعوني اتأكد من انه واضح لكم

[226]

اذا كانت هذه النقطة 2،3 ودعونا نفترض ان هذه هي النقطة 5،7

[239]

بالتالي اذا اردنا ان نجد ميل

[240]

هذا الخط، فسوف نقول 7 - 2، وهذا سيكون التغير في y

[246]

هذه 7 وهذه تكون 3، ومن ثم

[250]

نفعل ذلك لـ 5 - 2

[255]

لأن هذه تكون 5، وهذه 2

[258]

وبذلك يكون هذا مقدار التغير في x

[259]

5 - 2

[260]

اذاً 7 - 3 = 4، و 5 - 2 = 3

[264]

والميل سيكون 4/3

[270]

الآن دعونا نرى بامكاننا تعميم هذا

[273]

وهذا سيكون عبارة عن المفهوم الجديد الذي

[275]

سنتعلمه كلما تعمقنا في التفاضل والتكامل

[278]

دعونا نرى اذا بامكاننا تعميم هذا بطريقة ما للمنحنى

[281]

اذاً دعونا نفترض ان لدي منحنى

[284]

علينا الحصول على منحنى قبل ان يكون بامكاننا ان نعممه

[286]

على المنحنى

[287]

دعوني انزل الى لاسفل قليلاً

[287]

حسناً، في الواقع، انا اريد ان اترك هذا في الاعلى هنا، لكي اوضح

[289]

لكم التشابه

[291]

لنفترض ان لدي --سأبقيه بشكل عام الآن

[296]

لنفترض ان لدي منحنى

[298]

سأجعل من شكل المنحنى مألوفاً لكم

[301]

لنفترض انه منحنى y = x^2، وهو

[303]

يبدو هكذا

[306]

واريد ان اجد الميل

[310]

دعونا نفترض انني اريد ان اجد الميل على نقطة ما

[313]

وفي الواقع، قبل التحدث عنه، دعونا

[315]

نفكر في ما اعنيه عن ايجاد ميل المنحنى

[318]

هنا، كان الميل هو نفسه طيلة الوقت، اليس كذلك؟

[322]

لكن في المنحنى، يكون الميل متغيراً

[325]

وللحصول على البداهة لما يعنيه هذا

[327]

--ما هو الميل هنا؟

[328]

الميل هنا هو ميل خط المماس

[331]

اي الخط الذي بالكاد يلامسه

[333]

ذلك هو الميل هنا

[334]

انه ميل سالب

[335]

ثم هنا، لا يزال المل سالباً، لكنه

[337]

اقل سالبية بقليل

[339]

انه بهذا الشكل

[340]

لا اعلم اذا كنت قد فعلت ذلك، او رسمت ذلك

[341]

دعوني ارسمه بلون مختلف

[343]

دعوني ارسمه باللون البنفسجي

[345]

اذاً هنا، الميل سيكون اقل سالبية

[348]

ان الخط اقل انحرافاً للأسفل

[351]

ومن ثم عندما تذهب الى هنا، اي على النقطة 0، هنا

[356]

سيكون الميل مستوياً اكثر، لأن الخط الافقي، اي y

[360]

= 0، يشكل مماساً على هذا المنحنى

[362]

ثم تنتقل الى قيم x الموجبة، ومن ثم

[365]

سيبدأ الميل بالزيادة

[368]

انني احاول ان ارسم خط مماس

[370]

وهنا يزداد اكثر، انه يتزايد اكثر فأكثر

[374]

اذاً الميل يتغي طيلة الوقت، وهذا يعتبر

[377]

التغير الاكبر الذي يحدث عندما تنتقل من

[379]

خط الى منحنى

[381]

في الخط يكون الميل هو نفسه طيلة الوقت

[384]

يمكنك ان تأخذ اي نقطتين على الخط، تأخذ التغير في y

[387]

/ التغير في x، وتحصل على الميل

[389]

للخط كله

[390]

لكن كما يمكنك ان ترى بالفعل، انه سيكون

[392]

اكثر دقة عندما تفعل ذلك للمنحنى

[395]

لأنه يعتمد على النقطة التي نتحدث عنها

[397]

لا يمكننا ان نقول، ما هو ميل هذا المنحنى؟

[400]

الميل متغير على كل نقطة على طول المنحنى

[403]

انه يتغير

[404]

اذا صعدنا الى الاعلى هنا، فسوف يكون اكثر حدة

[406]

سيبدو هكذا

[410]

لذا دعونا نجري تجربة

[414]

واعلم كيف تجرى هذه التجربة، لذا لن

[417]

تكون مخاطرة كبيرة

[419]

دعوني ارسمه بشكل افضل من هذا

[422]

هذا هو محور y، وذلك محور x

[431]

دعونا نسمي هذا، يمكننا ان نسميه y، او يمكننا ان نسميه

[433]

محور f(x)

[435]

بأي طريقة تريدها

[436]

ودعوني ارسم المنحنى مرة اخرى

[440]

وسوف ارسمه في الاحداثي الموجب، هكذا

[444]

ذلك هو المنحنى

[446]

وماذا لو كنت اريد ان اجد الميل هنا؟

[453]

ماذا بوسمعي ان افعل؟

[454]

حسناً، استناداً الى تعريفنا للميل، نحن بحاجة لنقطتين

[458]

لكي نجد الميل، اليس كذلك؟

[459]

هنا، لا اعلم كيفية ايجاد الميل بنقطة واحدة

[461]

دعونا نسمي هذه النقطة الموجودة هنا

[469]

ستكون x

[470]

سنكون عموميين

[471]

ستكون هذه النقطة x

[473]

لكن لكي نجد الميل، نسبة الى

[475]

تعريف الجبر التقليدي للميل، فنحن بحاجة لنقطتين

[478]

لذا دعونا نأخذ نقطة اخرى هنا

[482]

دعونا نأخذ صورة اكبر لـ x هذه

[485]

اذاً دعونا نفترض، لنفترض ان لدينا تلك النقط، في الواقع، دعونا نأخذ واحدة

[490]

ابعد، والا ستشكل فوضى

[493]

اذاً دعوا نفترض ان لدينا هذه النقطة هنا

[495]

والفرق --انها اكبر من x

[498]

او في الواقع، بدلاً من ان نقول ان h اكبر، دعونا --حسناً

[500]

دعوني اقول ان h اكبر

[502]

اذاً هذه x + h

[505]

هذا عبارة عن تلك النقطة

[507]

اذاً ماذا يكون احداثي y المماثل

[510]

على المنحنى؟

[511]

حسناً، هذا هو منحنى y = f(x)

[515]

اذاً هذه النقطة الموجودة هنا ستكون

[519]

f(x) الموجودة هنا

[521]

وربما كي اوضح لكم انني آخذ x معينة، ربما

[523]

سأضع 0 هنا

[525]

هذه x صفرية، هذه x صفرية + h

[528]

هذا f(x) الصفري

[531]

ومن ثم ماذا سيحدث في الاعلى هنا، هذه النقطة

[536]

تلك النقطة الموجودة في الاعلى؟

[539]

احداثي y لها سيصبح f(x) هذه

[544]

اي ما سحبته للاعلى قليلاً

[545]

انها هنا، f(احداثي x هذا)، اي

[548]

f(x) الصفري + h

[550]

ذلك هو احداثي y لها

[552]

وما هو الميل الذي يقع بين هاتين النقطتين

[555]

القريبتان جداً من بعضهما؟

[557]

تذكروا، ان هذا لن يكون الميل

[558]

على هذه النقطة

[560]

ان هذا ميل الخط الذي يقع بين هاتان النقطتان

[563]

واذا اردت ان ارسمه، فسيكون

[567]

خطاً قاطعاً في منتصف المنحنى

[569]

سيقاط المنحنى مرتين، مرة عند هذه النقطة

[571]

ومرة عند هذه النقطة

[572]

لا يمكنك رؤيته

[574]

اذا رفعته للأعلى قليلاً، فسيبدو

[575]

بهذا الشكل

[576]

هذا هو احداثي x الصفري، f(x) الصفري، وفي الاعلى هنا

[579]

هذا هو احداثي هذه النقطة، والذي سيكون

[591]

احداثي x عبارة عن x الصفرية + h، واحداثي y

[596]

يكون f(x) الصفري + h

[599]

مهما كان هذا الاقتران، فإننا نقيمه على

[602]

احداثي x هذا. هذا كل شيئ

[603]

اذاً هاتان هما النقطتان

[605]

ربما ان البداية الجيدة هي ان نقول، ما هو

[607]

ميل هذا الخط القاطع للقوس؟

[610]

وكما فعلنا في المثال السابق، تجد

[612]

التغير في y، وتقسم ذلك على التغير في x

[622]

دعوني ارسمه هنا

[623]

التغير في y هو عبارة عن ذلك، التغير في y و

[626]

من ثم التغير في x عبارة عن ذلك

[629]

فما سيكون ميل هذا الخط القاطع؟

[633]

سيساوي الميل، دعونا نبدأ بهذه

[637]

النقطة الموجودة هنا، لأنها تبدو اكبر

[639]

اذاً نريد ايجاد التغير في y، اي هذه القيمة

[643]

قيمة y هذه، هي f(x) الصفري + h

[646]

لقد قيمت ما لدي هنا

[647]

تبدو وكأنها عبارة وهمية، لكن كل ما تعنيه انها، انظر

[649]

قيمة x الاكبر بقليل تقيم احداثي y لها

[652]

حيث يكون المنحنى على قيمة x تلك

[657]

ذلك يكون، اذاً التغير في y يكون

[660]

f(x) الصفري + h

[663]

ذلك هو احداثي y

[665]

- احداثي y هذا

[668]

اذاً - f(x) الصفري

[673]

ذلك يساوي التغير في y

[676]

وتريد ان تقسم ذلك على التغير في x

[678]

ما هذا؟

[681]

انها قيمة x الاكبر

[683]

لقد بدأنا بهذا الاحداثي، اذاً نبدأ

[685]

باحداثي x هذا

[686]

انه x الصفري + h، اذاً x الصفري + h

[690]

- احداثي x هذا

[692]

حسناً، لقد اخترنا عدد عام

[693]

انه x الصفري

[696]

مقسوماً على التغير في x

[699]

هكذا

[699]

اذاً هذا هو ميل الخط القاطع

[701]

لم نقم بعد باجابة ما هو الميل على تلك

[703]

النقطة، لكن ربما ان هذا سيساعدنا للوصول الى هنا

[707]

اذا بسطنا هذا، اذاً دعوني اكتب هذا هكذا

[711]

ميل الخط لقاطع، دعوني اكتب ذلك بدفة

[717]

ميل الخط القاطع = قيمة

[723]

الاقتران على هذه النقطة، اي f(x) الصفري + h، - قيمة

[728]

الاقتران هنا، اي - f(x) الصفري

[732]

وهذا يوضح لنا التغير في y

[734]

انه بالضبط نفس تعريف الميل الذي نستخدمه دائماً

[738]

مقسوماًعلى التغير في x

[739]

ويمكننا تبسيط هذا

[740]

لدينا x الصفري + h - x الصفري

[743]

اذاً x الصفري - x الصفري يتم حذفهما، وبذلك

[746]

نحصل على ذلك مقسوماً على h

[747]

هذا يساوي التغير في y / التغير في x

[752]

هذا كافي

[753]

لكنني بدأت بالقول، انني اريد ان اجد ميل

[756]

الخط على تلك النقطة، على هذه النقطة، هنا

[758]

انها النسخة المصغرة منه

[760]

اذاً ماذا يمكنني ان افعل؟

[762]

حسناً، لقد عرفت النقكة الثانية هنا على انها عبارة عن النقطة الاولى

[765]

+ h ما

[769]

ولدينا شيئ ما في شريط الادوات يسمى بالنهاية

[772]

h هذا عبارة عن عدد عام

[775]

يمكن ان يكون 10، يمكن ان يكون 2، يمكن ان يكون 0.02، يمكن ان يكون 1

[779]

× 10^-100

[781]

يمكن ان يكون اي عدد صغير

[783]

اذاً ماذا يحدث، ماذا سيحدث، نظرياً على الاقل

[787]

اذا اردت اخذ نهاية اقتراب h من الصفر؟

[789]

اذاً كما تعلمون، اولاً، ربما ان h هو عبارة عن عدد كبير

[793]

هنا، ومن ثم اذا اخذت h اصغر، بالتالي سوف اكون

[795]

اجد ميل هذا الخط القاطع

[797]

اذا اخذت h صغير، فأكون بذلك اجد

[800]

ميل ذلك الخط القاطع

[801]

اذا كان h اصغر بقليل، فأنا اجد

[803]

ميل ذلك الخط

[804]

اذاً كلما اقترب h من الصفر، سيكون اقرب اكثر فأكثر من

[808]

ايجاد ميل الخط الذي يقع على يمين النقطة في السؤال

[814]

بكل وضوح، اذا كان h عدد اصغر، فإن الخط القاطع

[816]

سيكون بعيداً عن الميل على تلك النقطة

[821]

لكن اذا كان h = 0.0000001، اي اذا كان عدد صغير جداً

[825]

بالتالي سوف اكون اقرب

[827]

ماذا يحدث اذا اخذت نهاية

[831]

اقتراب h من الصفر لهذا؟

[833]

اذاً نهاية اقتراب h من الصفر لميل القاطع

[840]

لــ --دعوني استخدم اللون الاخضر--

[843]

f(x) الصفري + h - f(x) الصفري، كان ذلك عبارة عن التغير في

[848]

y، مقسوم على h، اي التغير في x

[855]

والآن كي اوضح شيئ ما، وفي بعض الاوقات

[857]

ستراه في كتب التفاضل والتكامل الصعبة، في بعض الاوقات بدلاً من

[860]

h، سيضعون دلتا x هنا

[862]

حيث ان هذه النقطة الثانية ستكون معرفة على انها x الصفري

[865]

+ دلتا x، ومن ثم فإن هذا يبسط الى

[868]

دلتا x هنا، وسوف نأخذ نهاية

[870]

اقتراب دلتا x من الصفر

[871]

نفس الشيئ

[873]

h، دلتا x، ان هذا لا يهم

[874]

اننا نأخذ h على انه الفرق بين نقطة x الاولى

[877]

ومن ثم نقطة x الاكبر، ثم سوف

[879]

نأخذ نهاية اقتراب ذلك من الصفر

[880]

يمكننا ان نسمي ذلك بدلتا x بسهولة

[884]

لكنني سأسمي هذا الشيئ، والذي يساوي ميل

[892]

الخط القاطع، وهو يساوي ميل

[894]

الخط القاطع، سأسمي هذا بمشتق f

[898]

دعوني اكتب ذلك

[900]

وسأقول ان هذا يساوي f الرئيسي لـ x

[910]

وهذا يكون اقتران آخر

[912]

لأنه تذكروا، ان الميل يتغير على كل قيمة x

[916]

لا يهم ما هي قيمة x التي تختارها، فإن الميل

[918]

سيتغير

[919]

لا يجب ان يكون، لكن طريقة رسمي لهذا المنحنى

[920]

مختلفة

[921]

يمكن ان تكون مختلفة

[922]

اذاً الآن، تعطيني قيمة لـ x هنا، وسوف اطبق هذه

[927]

الصيغة هنا،ومن ثم يكون بامكاني ان اخبركم

[930]

الميل على تلك النقطة

[931]

وهذا كله يبدو مربكاً وربما

[934]

يتلخص في هذه النقطة

[935]

في العرض التالي، سأقوم بحل مثال على

[938]

حساب الميل، وسوف اجعل كل شيئ

[940]

دقيقاً اكثر

Most Recent Videos:

WE KILLED 6 HEROIC BOSSES! - YouTube

¿Quién inventó el dinero? - YouTube

Cuándo se inventó el dinero y cómo el dólar se convirtió en la principal moneda del mundo - YouTube

This Citizenship Program is Failing - YouTube

Candida Treatment Protocol w/ Dr. DiNezza - YouTube

$500M investor reacts to Real Estate Tik Toks 2 - YouTube

You can go back to the homepage right here: Homepage