🔍
The equation of a wave | Physics | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy Physics
[0]
Искам да ти покажа
уравнението на вълна
[2]
и да ти обясня
как да го използваш.
[4]
Но преди това трябва да обясня какво имаме
предвид под уравнение на вълна.
[9]
Какво означава, че една вълна
може да има уравнение?
[11]
Ето какво означава.
[13]
Представи си, че имаш
водна вълна и тя изглежда така.
[15]
И правим графика на
вертикалната височина на водната вълна
[17]
като функция на позицията.
[19]
Например да кажем,
че се разхождаш на кея
[22]
и гледаш една водна вълна,
която се носи към брега.
[25]
Вълната може да се движи така.
[26]
Ще видиш тази вълна
да се движи към брега.
[29]
Реалните водни вълни
в един океан
[31]
всъщност не изглеждат така,
[33]
но това е математически
най-простата вълна,
[36]
която можеш да опишеш,
[37]
така че ще започнем
с този прост пример
[39]
като наша начална точка.
[40]
Да кажем, че това е вълната.
[41]
Вървиш по кея
[42]
и стоиш в тази точка,
[44]
точката е точно пред теб,
[46]
виждаш, че височината
на водата е висока,
[48]
а после един метър
вдясно от теб
[50]
нивото на водата е 0,
[52]
а после два метра
вдясно от теб
[54]
нивото на водата
е -3.
[57]
Какво означава това?
[58]
Означава, че ако
денят е хубав,
[60]
няма никакви вълни,
[62]
океанът, или езерото,
ще е с равна повърхност.
[65]
Но ако има вълни,
това ниво на водата може да е
[67]
по-високо от тази позиция
или по-ниско от позицията на нивото на водата.
[71]
Просто ще наречем тази позиция
на нивото на водата 0 –
[73]
там водата ще се намира,
ако няма вълни.
[76]
Правиш графика на това
и получаваш такава графика,
[78]
което всъщност е просто
моментна снимка.
[80]
Понеже това са височина
и хоризонтална позиция,
[84]
това всъщност е
просто снимка.
[85]
С други думи,
мога просто да запълня това с вода
[87]
и ще си кажа:
"О, да, така изглежда вълната
[89]
в този момент от времето."
[91]
Ако ти покажа
какво прави вълната,
[93]
тя пътува към брега ето така
[95]
и я виждаш как се движи –
[96]
това всъщност е тази графика.
[99]
Ако имаш височина и позиция,
[101]
имаш моментна снимка
[103]
на това как изглежда вълната
при всички хоризонтални позиции
[106]
в един определен момент.
[108]
Какво трябва да е
нашето уравнение?
[110]
Трябва да е уравнение за
височината на вълната,
[114]
което е поне
функция на позицията –
[117]
това е функция...
[118]
Това не е умножено по –
[120]
но това у трябва поне
да е функция на позицията,
[123]
така че да получа функция,
в която мога да въведа
[126]
всяка стойност на х, която искам.
[127]
Да кажем – х е равно на 0.
[129]
И това трябва да ми каже –
"да, това е при 3."
[131]
Това уравнение за вълната
трябва да ни даде 3,
[134]
когато въведа х = 0.
[135]
Когато въведа х = 1,
[137]
това трябва да ни даде,
че вълната е при височина 0,
[140]
трябва да ми даде
стойност на у от 0.
[142]
И ако въведа стойност на х
от 6 метра,
[145]
функцията трябва да ми каже,
че стойността на у е -3.
[149]
Без значение какво х въведа тук,
да кажем, 7,
[151]
това трябва да ми каже
каква е стойността на височината на вълната
[155]
при тази хоризонтална позиция.
[157]
Как трябва да изглежда
това уравнение?
[159]
Нека опитаме да разберем.
[160]
у, като функция на х,
трябва да е равно на –
[162]
трябва да не е по-голямо
от 3 или -3
[165]
и това се нарича амплитуда.
[167]
Ако наречем това тук
амплитуда А,
[170]
това няма да е по-голямо
от тази амплитуда.
[173]
В този случай
амплитудата ще е 3,
[175]
но просто ще запиша амплитуда.
[177]
Това е обобщено уравнение,
което можеш да приложиш към всяка вълна.
[180]
И погледни формата на това.
[181]
Това е като графика
на синус или косинус.
[183]
Кое от тях?
[184]
Понеже при х = 0
[186]
тя започва при максимум,
ще кажа,
[188]
че това прилича
най-вече на графика на косинус,
[190]
понеже косинус от 0
започва при максимална стойност,
[194]
така че ще кажа,
че това е
[195]
като косинус от нещо.
[198]
Може да ти се иска
да запишеш просто х.
[200]
Но това няма
да свърши работа.
[201]
Ако тук просто запиша х,
[203]
това няма да е достатъчно обобщено,
че да опише всяка вълна.
[205]
Понеже, помисли,
[206]
ако просто имам х, косинус от х
ще се повтаря всеки път,
[210]
когато х стигне до 2π.
[212]
Всеки път, когато общата сума тук вътре
стигне до 2π,
[215]
косинусът ще се повтори.
[216]
Но погледни този косинус.
[218]
Той се повтаря след 4 метра.
[220]
А някоя друга вълна
може да се повтори след 8 метра,
[223]
а някоя друга вълна
може да се повтори
[224]
след различно разстояние.
[226]
Трябва да намеря как
тук да уточня
[228]
колко надалеч трябва да отидеш
в посока х,
[231]
за да се повтори вълната.
[233]
Само х няма
да свърши работа,
[234]
понеже ако имаш само х,
[236]
то винаги се повтаря след 2π.
[237]
Какво правя?
[239]
Правя същото, което
направих при
[240]
простите трептящи системи (осцилатори).
[242]
И казвам, че това е 2π,
[244]
и деля – този път
не деля не периода.
[247]
Това не е
функция на времето,
[249]
поне все още не е.
[250]
Това не е функция на времето,
[251]
а на х.
[252]
Това няма да е периодът.
[253]
Това няма да е времето,
което е нужно,
[255]
за да започне тази функция
да се повтаря.
[257]
Това всъщност ще е разстоянието,
което ще е нужно,
[259]
за да се повтори тази функция.
[260]
С други думи, това, което наричаме
дължина на вълната.
[262]
Разстоянието между два върха
се нарича дължина на вълната.
[266]
И го представяме с тази
гръцка буква ламбда.
[268]
Разстоянието, което е нужно на една вълна
да започне да се повтаря в пространството,
[271]
е дължината на вълната.
[273]
На това ще разделим,
[274]
понеже това има
метри за мерни единици.
[276]
И после, накрая, ще умножим
ето тук по х.
[279]
По този начин,
ако започна при х = 0,
[281]
косинусът започва
при максимум,
[283]
ще получа 3.
[284]
Ако кажа, че моето х е изминало
цяла една дължина на вълната –
[288]
и в този случай това е 4 метра.
[289]
Ако измина 4 метра,
или една дължина на вълната,
[292]
след като въведа дължината на вълната
за х, тази дължина на вълната
[295]
ще се съкрати с тази
дължина на вълната.
[297]
Ще получа 2π и този косинус ще има
същата стойност, както при x = 0,
[299]
понеже след като стойността тук вътре
стане 2π,
[302]
косинусът ще има същата стойност
както при x = 0.
[304]
И това се случва
за тази вълна.
[305]
То трябва да се повтаря след всяка една
дължина на вълната.
[308]
Изминаваш още една дължина на вълна,
това се повтаря.
[309]
Друга дължина на вълна,
това се повтаря.
[311]
И това ще се случи тук.
[312]
Как ще приложим това
уравнение на вълната
[314]
към точно тази вълна?
[316]
Нека вземем това.
[317]
Вече има косинус,
така че това е добре,
[319]
понеже имам това тук.
[320]
Можеш да използваш синус,
ако вълната ти започваше от тази точка
[324]
и оттук отиваше нагоре,
[325]
но нашата започва от максимум,
така че ще използваме косинус.
[328]
Ще кажем, че амплитудата ни
е 3 метра,
[333]
понеже нашата вълна
става 3 метра висока
[336]
над равновесното положение.
[338]
И ще оставим косинус тук.
[340]
Това 2π остава,
но ламбда не остава.
[342]
Дължината на вълната
не е просто ламбда.
[345]
Това е
твърде обобщено.
[346]
Трябва да запишем
какво е това
[347]
и това е разстоянието
от връх до връх,
[349]
което е 4 метра, или можеш да го измериш от
от дол до дол.
[355]
От дол до дол
това също ще е 4 метра.
[357]
Без значение от това
как го измерваш,
[359]
дължината на вълната
е 4 метра.
[361]
И какво ще въведа за х?
[363]
Не въвеждам нищо,
понеже искам функция.
[365]
Това е функция на х.
[366]
Имам предвид, мога да въведа
стойности за х.
[368]
Всъщност нека го направим.
[370]
Да видим дали
тази функция работи.
[371]
Ако го оставя просто като х,
това е функция,
[373]
която ми казва височината на вълната
при всяка стойност на х.
[375]
Но трябва да можем
да проверим това.
[377]
Да проверим дали
върши работа.
[378]
Нека х да е равно на 0.
[381]
Ако въведа 0 за х,
[382]
какво ми казва тази функция?
[384]
Казва ми, че имам косинус от 0.
[387]
И знам, че косинус
от 0 е просто 1.
[390]
Казва ми, че цялата тази функция
ще е равна на 3 метра
[394]
и това е вярно.
[395]
Височината на тази вълна
при х = 0...
[397]
При х = 0, височината на
вълната е 3 метра.
[400]
Това проработи.
[401]
Нека пробваме
още един пример.
[402]
Да кажем, че въведем
хоризонтална позиция от 2 метра.
[406]
Ако въведа 2 метра тук,
[408]
а после въведа 2 метра тук,
[411]
какво получавам?
[412]
Това ще е 3 метра
по косинус от –
[416]
2 по 2 е 4, върху 4, е 1 –
[418]
по π, това ще е
косинус от π.
[421]
А косинус от π е -1.
[423]
От това ще получа -3.
[425]
-3 метра и това е вярно.
[427]
Височината на тази вълна
при 2 метра
[430]
е -3 метра.
[431]
Тази функция ни дава
височината на вълната
[433]
при всяка стойност на х,
което е доста готино.
[436]
Но може би
забеляза един проблем.
[439]
Може би си каза:
Чакай малко, това е добре,
[441]
но това е за
един момент във времето.
[443]
Но тази вълна се движи,
нали си спомняш?
[445]
Цялата вълна се движи
към брега.
[447]
Тоест в определен
момент на времето,
[450]
да, това уравнение може да ти даде
каква е формата на вълната
[453]
за всички стойност на х,
[455]
но ако просто
изчакам един момент,
[456]
сега всичко е объркано.
[458]
Сега при х = 2, височината
не е -3.
[461]
При х = 0 височината вече
не е 3 метра.
[464]
Тя стига само дотук.
[466]
Какво правим?
[467]
Как да опишем вълна,
която се движи надясно,
[469]
в едно единствено уравнение?
[472]
Това не е толкова зле,
колкото може да си помислиш.
[473]
Нека се отърва от това.
[474]
Нека поразчистя това.
[475]
Ще надстроим над тази
функция тук.
[478]
Трябва ми уравнение за вълна,
което не само е функция на х,
[482]
но и също е
функция на времето.
[485]
Тази функция тук горе трябва
не само да е функция на х,
[488]
но трябва и да е
функция на времето,
[490]
така че да мога да въведа
всякакви стойности за време и за позиция
[493]
и това ще ми каже
каква е стойността на височината на вълната.
[496]
Как да получа зависимостта
от времето тук?
[499]
Спомни си,
[500]
ако добавя един
фазов параметър тук...
[503]
Спомни си, ако добавиш число
вътре в аргумента на косинуса,
[506]
то премества вълната.
[508]
Всъщност ако добавиш
малък параметър,
[511]
ще я премества наляво.
[514]
Така че не искаш
да добавяш.
[515]
Ако вълната се движи надясно,
[516]
искаме да извадим.
[525]
Но ако просто имам
постоянна промяна тук,
[528]
това няма да свърши работа.
[529]
Вълната на плажа не просто се движи
[532]
и после спира.
[533]
Тя продължава да се движи.
[534]
Трябва ни вълна,
която продължава да се премества.
[537]
Ако се замислиш,
може да осъзнаеш,
[538]
може да си кажеш:
Защо просто не направя така,
[540]
че преместването на тази фаза
да зависи от времето?
[542]
По този начин,
докато времето се увеличава,
[545]
вълната ще продължи да се премества
все повече и повече.
[548]
Ако този член за преместване на вълната
продължава да става по-голям,
[552]
докато времето се увеличава,
[553]
вълната ще продължи
да се премества надясно.
[556]
Ще имаш уравнение,
което описва една вълна,
[557]
която всъщност се движи.
[559]
Какво ще въведеш тук?
[561]
Може да изглежда страшно.
[562]
Може да си кажеш:
Това ще е сложно.
[564]
Как да открием това?
[565]
Но това не е твърде зле,
понеже това,
[566]
точно както дължината на вълната
[568]
е времето, което е нужно
на вълната да се повтори,
[570]
има също и нещо,
наречено период,
[573]
и представяме това
с главно Т.
[574]
И периодът е времето, необходимо на вълната
да започне да се повтаря.
[578]
Ако чакам един цял период,
[580]
вълната ще се е преместила
по такъв начин,
[582]
че всъщност ще изглежда
като точно същата вълна.
[587]
Показахме това тук.
[589]
Да кажем, че вълната
беше тук горе.
[591]
И взимам тази вълна.
[592]
Ако изчакаш един цял период,
вълната ще се е преместила обратно
[596]
и ще изглежда точно както
изглеждаше преди.
[598]
Цялата вълна се движи към брега.
[600]
Ако затвориш очите си
и ги отвориш един период по-късно,
[603]
вълната изглежда напълно същата.
[605]
Ще използвам
този факт тук горе.
[607]
Нужно ни е функцията да се повтаря
не просто след една дължина на вълната.
[611]
Нужно ни е тя да се повтаря
и след един период.
[614]
Как да представим това?
[615]
Правим същото нещо,
[616]
Казваме си: Добре,
не мога просто да поставя времето тук.
[620]
Това, което ще направя,
е да поставя 2π върху периода, главно Т,
[624]
и после умножавам по времето.
[626]
По този начин, точно както всеки път х стане кратно
на една дължина на вълната,
[633]
виждаме същата височина.
[636]
Всеки път, когато изчакаме
един цял период,
[638]
това става 2π,
[640]
и цялото това нещо ще се повтаря отново.
[642]
Това е уравнението на вълната
[643]
и предполагам, че можем да направим
това малко по-обобщено.
[646]
Този косинус можеше да е синус.
[648]
Ако получиш вълна,
която бива по-добре описана със синус,
[651]
може би започва тук
и отива нагоре,
[652]
може да искаш
да използваш синус.
[654]
И отрицателният вариант
кара тази вълна да се премести надясно,
[657]
можеш да използваш
"+" или "-",
[659]
понеже ще се премести надясно,
ако използваш "-",
[661]
или ако използваш "+",
[663]
добавянето на член за преместване
на фазата премества това наляво.
[665]
Един положителен член тук горе
ще опише една вълна,
[667]
която се движи наляво.
[669]
И технически казано,
можеш да го направиш
[671]
малко по-обобщено,
[673]
като сложиш още един член-константа
за преместване на фазата
[675]
ето тук надясно.
[677]
Ако добавим това,
тогава ще вземем предвид случаи,
[679]
които са странни, при които може би
графиката започва ето така
[682]
и не започва нито като синус,
нито като косинус.
[685]
Ще трябва да я начертаеш
преместена само с малко.
[688]
Но в нашия случай тук
[689]
не е нужно да се тревожиш за това,
[690]
понеже започна при максимум,
[692]
така че няма да е нужно
да имаш това фазово отместване.
[693]
И това е.
[694]
Това е уравнението на вълната
(или "вълново уравнение").
[695]
Това искахме –
[696]
функция на позицията и на времето,
[698]
която ти дава
височината на вълната
[700]
при всяка стойност на х
[703]
и всяка стойност на времето t.
[704]
Нека опитаме да приложим
тази формула
[706]
към тази определена вълна,
която получихме ето тук.
[708]
Ще се отърва от това.
[709]
Това беше просто изразът
за тази вълна
[712]
в един момент във времето.
[714]
Може би тази момента снимка, която направихме
на вълната на кея,
[717]
беше в момента, да го наречем
t = 0 секунди.
[721]
При t = 0 секунди
направихме тази снимка.
[723]
Така изглежда вълната
[725]
и това е функцията,
която описва
[727]
как изглежда тази вълна
в този момент във времето,
[729]
но сега ще се справим по-добре.
[731]
Ще опишем как
изглежда вълната
[733]
за всяка стойност на х
и на времето t.
[736]
Нека направим това.
[737]
Каква ще е амплитудата?
[738]
Това е лесно, все още е 3.
[740]
Вълната никога не става
по-висока от 3,
[742]
никога не става по-ниска
от -3,
[744]
така че амплитудата ни
все още е 3 метра.
[746]
И след като при х = 0 и t = 0
[750]
графиката ни започва
при максимум,
[753]
все още ще искаме
да използваме косинус.
[755]
Идваме ето тук,
2πх върху ламбда.
[757]
Ламбда все още е ламбда,
[758]
тоест ламбда тук
все още е 4 метра.
[764]
Трябваше да изминеш
4 метра по кея,
[766]
за да видиш повторение.
[767]
Това е малко подвеждащо.
[769]
Имам предвид, ще трябва
да бягаш много бързо.
[770]
Вълната ще се движи,
докато вървиш.
[772]
Трябва да кажа,
ако стоиш на 0,
[774]
а твой приятел стои на 4,
[776]
и двамата ще видите
същата височина,
[778]
понеже вълната се повтаря
след 4 метра.
[780]
"+" или "-" ще искаме?
[782]
Тъй като тази вълна се движи надясно,
ще искаме "-".
[785]
Няма да ми трябва член
за преместване на фазата,
[787]
понеже това започна като
перфектен косинус.
[790]
Единственият въпрос е какво
въвеждам за периода.
[795]
Ще ми трябва още
малко информация.
[797]
Ако ми кажат периода,
това ще е чудесно.
[799]
Но понякога въпросите
са по-сложни от това.
[801]
Може би ти казват, че тази вълна
се движи надясно
[804]
с 0,5 метра в секунда.
[807]
Да кажем, че това е
скоростта на вълната и ти кажат:
[809]
Създай уравнение, което описва вълната като
функция на пространството и времето.
[813]
Правиш всичко това,
но после ще се зачудиш
[815]
как да намериш периода.
[816]
Ще трябва да използваме факта,
[818]
че записваме скоростта на една вълна или като дължината на вълната по честотата,
[822]
или като дължината на вълната
върху периода.
[825]
Мога да намеря периода
[826]
и мога да кажа,
че периодът на тази вълна,
[828]
ако ми дадат скоростта
и дължината на вълната,
[830]
мога да намеря дължината
на вълната на тази графика.
[832]
Ще кажа, че периодът на вълната
[833]
ще е дължината на вълната,
разделен на скоростта.
[836]
Нашата дължина на вълната
беше 4 метра,
[838]
а скоростта –
да речем, че са ни казали,
[840]
че е 0,5 метра в секунда –
[842]
ще ни даде период
от 8 секунди.
[844]
Ще трябва да въведем 8 секунди
тук за периода.
[847]
И готово.
[848]
Това е уравнението ми
за тази вълна.
[850]
Това малко уравнение
е чудесно.
[853]
То описва височината
на тази вълна
[855]
при всички стойности на х и на t.
[858]
С други думи, мога
да въведа 3 метра за х
[861]
и 5,2 секунди за времето.
[864]
И това щеше да ми каже
каква е височината на тази вълна
[867]
на 3 метра
при време 5,2 секунди.
[870]
Което е удивително.
[871]
Да обобщим, това е
уравнението на вълната,
[873]
което описва
височината на вълната
[875]
за всички стойности на х и на времето t.
[877]
Можеш да използваш знака за минус,
[878]
ако вълната
се движи надясно,
[880]
и знака за плюс, ако вълната
се движи наляво.
Most Recent Videos:
You can go back to the homepage right here: Homepage