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Simple equations: examples solving a variety of forms | Linear equations | Algebra I | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
[0]
Wir wollen ein paar Beispiele machen wie man Gleichungen löst.
[3]
Und diese Gleichungen
[6]
werden nicht viele Schritte zum Lösen benötigen,
[8]
aber ich möchte darauf fokussieren, was genau mit
[10]
den Gleichungen passiert und warum es Sinn macht,
[14]
diese Schritte durchzuführen.
[14]
In dieser ersten Gleichung hier haben wir x.
--- und ich schreibe die Gleichung nochmal hin ---
[18]
x plus 11 ergibt 7.
[22]
Das sagt uns ...
--- der Punkt hier stimmt nicht,
[25]
den lösche ich weg
[29]
Das soll nämlich keine Dezimalzahl sein
[31]
Schon passiert
[32]
Und nun zurück zur Aufgabe
[34]
Was bedeutet das?
[35]
Irgend eine Zahl plus 11 ergibt 7.
[39]
Und das kannst Du vielleicht sogar im Kopf berechnen
[41]
Was muss ich zu 11 hinzu addieren um 7 zu erhalten?
[45]
Es muss also irgend eine
[46]
negative Zahl sein.
[47]
Aber das werden wir jetzt systematisch erlernen.
[49]
Wenn wir eine Gleichung lösen,
[52]
wollen wir am Ende das in der Form haben
[54]
x ist gleich irgend etwas.
[56]
Und das ist dann unser Ergebnis.
[57]
Wir haben dann die Zahl, für die diese Gleichung gilt.
[61]
Um dorthin zu gelangen, müssen wir
[64]
das x alleine auf der linken Seite haben.
[66]
Die 11 hier wollen wir dort nicht haben.
[68]
Wir möchten die 11 auf der linken Seite
[71]
irgendwie los werden.
[72]
Um das hin zu bekommen können wir das nicht einfach
[74]
nur auf der linken Seite wegnehmen.
[75]
Man könnte versucht sein einfach
[78]
11 auf der linken Seite abzuziehen.
[80]
Aber das ist eine Gleichung.
[82]
Jede Veränderung die man auf einer Seite der Gleichung durchführt
[85]
muss man auch auf der anderen Seite durchführen.
[87]
Wenn x plus 11 gleich 7 ist, wird x plus 11 minus 11
[91]
nicht mehr gleich 7 sein.
[93]
Man muss also 11 auch von der 7 abziehen (subtrahieren).
[96]
Nun haben wir wieder Gleichheit.
[98]
Und das will ich wirklich hier betonen.
[99]
Du sollst wirklich nochmal darüber nachdenken
[101]
was Gleichung (oder Gleichheit) bedeutet.
[102]
Gleichung kommt von gleichwertig sein.
[105]
Das hier hat den gleichen Wert wie das hier.
[109]
Diese zwei Dinge liefern die gleiche Anzahl.
[112]
Damit diese Gleichheit bestehen bleibt, muss ich
[116]
alles was ich hier verändere, ich subtrahiere 11 von dieser Anzahl,
[119]
auch auf hier verändern, also muss ich
[122]
11 auch hier subtrahieren. x plus 11und 7 sind wertmäßig gleich.
[126]
Und sie werden auch gleiche Werte haben, nachdem ich 11 subtrahiere.
[129]
Nun betrachten wir die linke Seite.
[131]
Minus 11 plus x plus 11,
Minus 11 plus 11
[137]
heben sich auf, ja?
[138]
11 minus 11 ergibt 0.
[140]
Hier bleibt als nur x und das ist gleich
[144]
7 minus 11.
[147]
Nun, was ist 7 minus 11?
[149]
Man kann dazu einen Zahlstrahl zeichnen.
[152]
Wenn wir hier einen Zahlstrahl aufmalen,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
[159]
7 ist hier.
[160]
Und wenn man davon 11 subtrahiert, geht man schrittweise zurück 1, 2, 3, 4 ...
[166]
... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
[172]
8, 9, 10, 11.
[174]
Das bringt uns zu minus 4.
[177]
7 minus 11 ist minus 4.
[181]
Das ist unsere erste Gleichung.
[183]
Nun haben wir 7 mal irgend eine Zahl,
---das ist die neue Aufgabe---
[186]
7 mal irgend eine Zahl ergibt 21.
[189]
Das wird ein anderes x ergeben
[190]
als hier.
[191]
Wie bekommen wir das wieder in die Form:
x ist gleich
[194]
irgend etwas?
[195]
Dran denken, wir brauchen das in der Form
x ist gleich irgend etwas.
[197]
Wie bekommen wir das in diese Form?
[199]
Ich schreibe die Aufgabe neu hin.
[201]
7 mal irgend etwas ergibt 21.
[205]
Man kann das auf zwei Arten betrachten.
[208]
Wenn ich 7 mal x durch 7 dividiere,
[211]
was wird dabei herauskommen?
[213]
Wenn ich diese Seite also durch 7 teile, was bleibt dann übrig?
[215]
7 mal irgend etwas geteilt durch 7,
[218]
das ergibt dieses "irgend etwas".
[219]
Das ergibt dann dieses x.
[221]
Aber wenn ich das auf der linken Seite der Gleichung mache,
[222]
dann muss ich das auch
[223]
auf der rechten Seite der Gleichung tun.
[225]
Aufgepasst: 7 x ist gleich 21.
[228]
das ist das gleiche wie 21.
[230]
Damit diese Gleichheit bestehen bleibt, muss ich
[233]
wenn ich links durch 7 dividiere auch rechts durch 7 dividieren.
[237]
Und wenn wir das machen: 7 mal x dividiert durch 7
[242]
das ergibt x. Und dann noch: 21 dividiert durch 7 ergibt 3.
[247]
Die Lösung für diese Gleichung ist also 3.
[250]
Und das kann man überprüfen.
[251]
Man nehme 3 und setze es in diese Gleichung ein.
[253]
7 mal 3 ist in der Tat 21.
[257]
Das gleiche kann man hier machen.
[258]
Man nehme für x eine minus 4
[260]
Minus 4 plus 11 ist das gleiche wie
[263]
11 minus 4 und das ergibt in der Tat 7.
[266]
Nun wollen wir diese Aufgabe machen.
[267]
Die schaut ein wenig schwerer aus,
[268]
die sieht zwar schwer aus, ist aber nicht zu schlimm.
[270]
Wir haben also 5x geteilt durch 12 ist gleich 2/3.
[278]
Wie isoliert man x in diesem Falle?
[281]
Mit was können wir multiplizieren oder
durch was dividieren um x zu isolieren?
[284]
Wie wäre es, wenn wir beide Seiten
[287]
mit 12/5 multiplizieren?
[289]
Was passiert dann?
[291]
Wenn ich die linke Seite mit 12 Fünftel multipliziere,
[297]
und dran denken: alles was ich auf einer Seite der Gleichung mache
[299]
muss ich auch auf der anderen Seite der Gleichung machen.
[301]
Wenn ich also die linke Seite mit 12/5 multipliziere
[304]
muss ich auch die rechte Seite mit 12/5 multiplizieren
[308]
damit die Gleichheit bestehen bleibt.
[309]
Aber warum sollte ich gerade mit 12 Fünftel multiplizieren?
[311]
Weil ich etwas gesucht habe, was
[313]
die 5 / 12 auflöst.
[316]
Richtig?
[316]
Hier haben wir 5 / 12
[317]
12 geteilt durch 5 mal 5 geteilt durch 12.
Da kürzt sich die 12 weg
[321]
und die 5 kürzt sich weg,
und es bleibt das x hier übrig.
[324]
So erhält man x = 2/3 mal 12/5.
[330]
12 kann man durch 3 teilen und man erhält 4.
[332]
Man kann die 3 durch eine 3 teilen und erhält 1.
[335]
Das ergibt 2 mal 4 und das ist 8
[339]
geteilt durch 1 mal 5, was 5 ergibt.
[340]
x ist also 8/5.
[342]
Nun könnte man sagen, hey Sal, hier hast
du durch 7 geteilt,
[346]
hier hast du mit dem Kehrwert multipliziert.
[349]
Wann weiß ich welchen Ansatz ich wählen muss?
[350]
Und die Antwort lautet: man kann beide Ansäte nehmen.
[352]
Ich hätte diese Aufgabe ebenfalls so lösen können.
[355]
Begonnen habe ich mit 7x ist gleich 21.
[359]
Anstelle durch 7 zu dividieren, hätte man auch
[361]
mit dem Kehrwert von 7 multiplizieren können.
[363]
Ich hätte mit dem Kehrwert von 7 multiplizieren können
[367]
und zwar auf beiden Seiten der Gleichung.
[368]
Und das ist das gleiche wie durch 7 zu teilen.
[372]
Das kann man nachprüfen.
[372]
Wenn man mit 1/7 multipliziert, dann ist das genau das gleiche
[375]
wie wenn man durch 7 dividiert.
[377]
Wenn man das jetzt ausmultipliziert, hebt sich das auf.
[379]
Das ist 1/7 mal 7/1.
[381]
Die 7 kürzt sich weg.
[382]
Man erhält x ist gleich 21 geteilt durch 7 und das ergibt 3.
[387]
Das gleiche gilt hier. Das sind 5x geteilt durch 12.
[393]
Ich will das anderst schreiben.
[395]
Ich könnte das schreiben als
5 geteilt durch 12 ist gleich 2 geteilt durch 3.
[401]
Das ist genau die gleiche Aufgabenstellung.
[402]
Ich isoliere das x ein wenig.
[404]
5/12 mal x ist 5x geteilt durch 12.
[408]
Hier könnte ich nun beide Seiten einfach
[411]
durch den Koeffizienten 5/12 dividieren.
[413]
Ich könnte durch 5/12 dividieren.
[420]
Aber was bedeutet das: durch 5/12 zu teilen?
[423]
Das ist das gleiche wie mit 12/5 multiplizieren.
[428]
Durch einen Bruch teilt man indem man
[430]
mit dem Kehrwert multipliziert.
[431]
Also: hier und hier machen wir genau das gleiche.
[435]
Ob man durch den Koeffizienten dividiert,
so wie wir das hier gemacht haben.
[439]
Oder ob man mit dem Kehrwert des Koeffizienten
[442]
multipliziert, man führt genau die gleiche
mathematische Operation durch.
[445]
Jetzt werden wir noch ein paar von den anderen Aufgaben machen.
[447]
Und hier gehts nur darum zu zeigen, dass die Variable nicht immer nur x sein muss.
[449]
Wir können das auch für q ausrechnen.
[451]
Wir können nach z auflösen.
[452]
Wir können s berechnen.
[453]
Wir können nach allem auflösen.
[455]
Lasst uns diese Aufgeben hier unten lösen.
[457]
Ich schreibe das nochmal neu.
Wir haben q minus 13
[462]
ist gleich minus 13.
[465]
Wiederum wollen wir das q isolieren.
[467]
Es soll heißen: q is gleich irgend etwas.
[469]
Dann hätten wir die Aufgabe gelöst.
[471]
Wie können wir also das q isolieren?
[473]
Wie können wir diese 13 los werden?
[475]
Was wäre, wenn wir auf beide Seiten
der Gleichung 13 addieren
[478]
Wenn ich 13 auf beiden Seiten der Gleichung addiere
[482]
Denn wenn ich 13 zu minus 13 addiere
[486]
erhalte ich Null.
[488]
Die linke Seite wird also zu q.
[491]
Und zu was wird nun die rechte Seite?
[493]
Dies und das hebt sich auf.
[495]
Und auf der rechten Seite haben wir
[497]
minus 13 plus 13 ergibt Null.
[499]
Unsere Lösung laut also:
q ist gleich 0.
[501]
Und wir können das überprüfen.
[503]
0 minus 13 ist in der Tat minus 13.
[508]
Das passt also.
[509]
Oh, ich habe vergessen, das hier oben nach zu prüfen.
[510]
Das wollen wir tun.
[511]
Das ist das tolle an Algebra, man kann
[512]
die Lösung immer ausprobieren.
[513]
Wir haben hier die Gleichung
x =8/5
[516]
Wir wollen hier die Lösung überprüfen.
[518]
5/12 mal x mal 8/5 ergibt was?
[524]
Die 5er kürzen sich raus.
[525]
8 lässt sich durch 4 teilen und wir bekommen eine 2.
[527]
Man kann die 12 durch 4 teilen und erhält eine 3.
[530]
Das ergibt 2/3.
[531]
Das stimmt also.
[533]
Das ist eine nette Sache.
[533]
Sobald man die Lösung hat, kann man diese
[535]
immer überprüfen, solange man genügend Zeit dazu hat.
[538]
Jetzt wollen wir die letzten zwei ausrechnen.
[542]
Wir haben hier z plus 1,1 ist gleich 3,0001.
(Anmerkung: in Deutschland haben wir "," statt ".")
[551]
Wieder wollen wir die 1,1 auf der linken
[553]
Seite weg bekommen.
[554]
Der beste Weg den ich mir dazu vorstellen kann, ist
[557]
1,1 auf beiden Seiten zu subtrahieren.
[561]
Oder minus 1,1 zu addieren.
[562]
Wenn ich das auf der linken Seite mache,
muss ich das auch auf der rechten Seite tun.
[565]
Andernfalls ist die Gleichheit nicht mehr gegeben.
[567]
Wenn das hier das gleiche ist wie das da,
[570]
muss ich, um die Gleichheit zu erhalten,
das was ich links verändere
[572]
auch rechts verändern.
[574]
Also
[574]
Wenn ich 1,1 subtrahiere von z plus 1,1
dann heben sich diese zwei auf
[579]
Da bleibt nur noch z ist gleich 3,0001 minus 1,1.
[590]
Hier müssen wir ein wenig
[591]
Dezimalzahlen subtrahieren.
[593]
Das ist voraussichtlich das schwierigste an dieser Aufgabe.
[595]
Also: 3,0001 minus 1,1
[600]
Wir wollen das Komma untereinander ausrichten
[601]
Minus 1,1
[602]
Minus 1,1
[605]
Das machen wir so
[606]
Und wir können noch ein paar 0 anhängen
um das eindeutiger zu machen
[610]
Und nun führen wir die Subtraktion durch.
[613]
1 minus 0 ergibt 1.
[614]
0 minus 0 ergibt 0.
[616]
0 minus 0 ergibt 0.
[618]
Oh oh, wir können von 0 nicht eine 1 abziehen.
[621]
Wir können umsortieren oder wir können "ausleihen".
[623]
Hieraus wird eine 10 was eigentlich eine 1 ist.
[628]
Und wir holen uns die 1 von hier.
[631]
Und das wird dann eine 2, ja?
[633]
Wir haben uns das von der 3 geliehen,
wir haben die Zahlen umgruppiert.
[635]
Wir haben eine ganze 1 genommen und in die Zehntel Stelle getan
[639]
und das wird dann 10 Zehntel (10 / 10 )
[640]
Und somit haben wir 10 minus 1 ergibt 9.
[643]
Wir haben die Kommastelle
[645]
Und 2 minus 1 ergibt 1.
[647]
Die Lösung ist also:
z ist gleich 1,9001
[653]
Und das können wir wieder überprüfen.
[655]
Was ergibt z plus 1,1?
[656]
Was gibt z + 1,1?
[660]
Das addieren wir nun
[661]
Wir erhalten eine 1 -- 0 0, 9 plus 1 ist 10,
1 plus 1 plus 1 ist 3
[668]
wir haben die Kommastelle,
und wir erhalten 3,0001
[671]
Das ist eine gute Wiederholung der Subtraktion
von Dezimalzahlen.
[674]
Ok
[675]
Wir haben die letzte Aufgabe.
[676]
21 s ist gleich 3.
[679]
Wie gesagt, wir können das auf 2 Arten machen,
[681]
die eigentlich gleich sind.
[683]
21 mal irgend etwas ist gleich 3.
[685]
Was passiert, wenn wir beide Seiten multiplizieren mit
[687]
1 geteilt durch 21 ?
[693]
Mit dem Inversen des Koeffizienten.
[696]
Der Koeffizient ist lediglich die Zahl
die vor der Variablen steht.
[698]
Die Zahl die mit der Variablen multipliziert wird.
[700]
Nun, 1 / 21 mal 21 ergibt 1. Wir erhalten also
[704]
s ist gleich 3 geteilt durch 21.
[708]
Und 3 / 21 ist das gleiche wie 1 / 7.
[711]
Und das können wir wieder überprüfen.
[713]
Was ist 21 mal 1 geteilt durch 7 ?
[716]
Das ist das gleiche wie 21 / 7
[719]
21 geteilt durch 7.
[721]
Das ergibt 3.
[723]
Und um das nochmals zu wiederholen
[724]
man hätte auch -- anstelle mit 1 / 21 zu multiplizieren --
[728]
Also 21 s ist gleich 3 --
[731]
anstelle mit 1/21 zu multiplizieren
[733]
hätten wir auch beide Seiten durch 21 dividieren können.
[738]
Das kürzt sich weg.
[739]
Man erhält s ist gleich 3 / 21 und das ist 1/7.
[746]
Hoffentlich waren diese Beispiele ein wenig nützlich.
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