🔍

Mean value theorem | Existence theorems | AP Calculus AB | Khan Academy - YouTube

Channel: Khan Academy

[0]

Да видим дали можем

[0]

да разберем добре

[2]

теоремата за средните стойности.

[9]

И както ще видим, щом веднъж разгледаме добре някои от математическите понятия

[14]

и символиката, това ще е една доста разбираема за нас теорема.

[19]

Та нека разгледаме дадена функция f.

[22]

Да кажем, че имам някаква функция f.

[24]

Знаем няколко неща за тази функция.

[27]

Знаем, че тя е непрекъсната в рамките на затворения

[39]

интервал между х, равно на а, и х, равно на b.

[44]

И когато поставим тези скоби тук,

[46]

това означава затворен интервал.

[48]

Когато напиша скобата така, това

[50]

означава, че включваме точката а.

[51]

А ако поставя скобата от дясната страна, вместо

[54]

кръгли скоби, това означава, че

[56]

включваме точката b.

[57]

И "непрекъсната" функция означава, че

[58]

нямаме никакви празноти или прескачания във функцията в рамките на този затворен

[61]

интервал.

[63]

Сега, нека също приемем, че функцията е диференцируема в рамките

[72]

на отворения интервал между а и b.

[74]

Сега казваме, ами, хубаво е ако

[76]

не е диференцируема точно в а,

[78]

или ако не е диференцируема точно в b.

[80]

A диференцируема означава, че е налице

[81]

определена проиводна, така че можем всъщност

[83]

да намерим производната в тези точки.

[85]

Така че функцията е диференцируема в рамките на отворения интервал между а и b.

[90]

A това са ограниченията, които

[91]

ще си наложим при теоремата за средните стойности.

[93]

Нека се опитаме да си представим нагледно това.

[95]

Това е моята функция, това е ординатната ос.

[101]

И тогава това тук е абсцисната ос.

[106]

И аз ще - да видим, абсцисната ос,

[109]

нека начертая моя интервал.

[111]

Така, това е а, а това тук е b.

[117]

И нека нашата функция е нещо такова.

[122]

Тук чертая произволна функция,

[126]

да кажем, че моята функция изглежда така.

[129]

Така че в тази точка тук, стойността на х е а,

[132]

а стойността на у е f (а).

[135]

f(a).

[137]

В тази точка тук, стойността на х

[141]

е b, а стойността на у, естествено, е f(b).

[144]

f(b).

[150]

Така че всичко, което ни казва теоремата за средните стойности,

[152]

е това, че ако вземем средната степен на изменение

[155]

в рамките на интервала така, че в дадена точка

[158]

моменталната степен на изменение, поне

[160]

в някаква точка от този отворен интервал,

[163]

моменталното изменение

[164]

ще е същото като средното изменение.

[166]

Как можем да представим това нагледно?

[168]

Нека пресметнем средното изменение.

[170]

Средното изменение между точка а и точка b,

[174]

ами, това ще е наклонът на пресечната права.

[176]

Наклонът на пресечната права.

[182]

Така че това е - това е пресечната права.

[184]

Нека помислим за нейния наклон.

[185]

Всичко, което ни казва теоремата за средните стойности,

[187]

е това, че в някаква точка от този интервал,

[190]

моментният наклон на допирателната

[192]

ще е същият като наклона на пресечната права.

[194]

И можем да видим нагледно, че това изглежда така,

[197]

наклонът на допирателната изглежда е същият

[201]

като този на пресечната права.

[203]

Прилича на този случай тук.

[205]

Наклонът на допирателната е равен на наклона

[207]

на пресечната права.

[208]

И това е нещо разбираемо.

[209]

В дадена точка, моменталният наклон

[211]

ще е същият като средния наклон.

[214]

Как ще запишем това математически?

[217]

Ами нека пресметнем средния наклон

[222]

на този интервал.

[224]

Средният наклон на този интервал,

[226]

или средното изменение, наклона на пресечната права,

[229]

ще е изменението в у - нашето изменение в у

[232]

тук на това място - върху изменението в х.

[235]

Върху изменението в х.

[240]

А какво е изменението в у?

[242]

Изменението в у е f(b) минус f(a),

[249]

и това ще е върху изменението в х.

[254]

Върху b минус b минус а.

[258]

Ще оцветя това в червено.

[260]

Така, нека си припомним какво се случва тук.

[263]

Това, което виждаме, е графиката на у,

[265]

равно на f(x).

[267]

Казваме, че наклонът на пресечната права,

[269]

или средната стойност на изменението в интервала от а до b,

[274]

представлява изменението в у - гръцката буква делта служи

[282]

за кратък запис на изменение в у -върху изменението в х.

[287]

...

[291]

Което, естествено, е равно на това.

[293]

И теоремата за средните стойности ни казва,

[296]

че съществува- ако знаем тези два

[300]

елемента на функцията, тогава

[304]

съществува някаква стойност на х между a и b.

[312]

И в отворения интервал между a и b съществува дадено с.

[317]

Съществува дадено с, и можем

[319]

да кажем, че то е член на отворения интервал между а и b.

[323]

Между а и b.

[326]

Или можем да кажем, че с, такова, че а е по-малко от с,

[333]

което пък е по-малко от b.

[335]

Та дадено c е в този интервал.

[337]

Дадено c е тук вътре, където моментната степен

[343]

на изменението за тази стойност на х е равна

[347]

на средната степен на изменението.

[349]

Един вид в този отворен интервал съществува дадено c,

[352]

за което средната степен на изменението

[355]

е равна на моментната степен на изменението в тази точка.

[360]

Това е всичко, което се казва.

[361]

И както видяхме тази диаграма тук, това може да е споменатото c.

[364]

Или и това може да е c.

[368]

И реално нищо - изглежда

[370]

можем да кажем, че f е непрекъсната между а и b, диференцируема в - f

[374]

е непрекъсната в рамките на затворения интервал, диференцируема

[376]

в отворения интервал, вижда се всичката символика тук.

[378]

И в крайна сметка какво се има предвид това?

[380]

Това означава, че в дадена точка от интервала,

[382]

моментната степен на изменението

[385]

ще е равна на средната степен на изменението

[388]

в целия интервал.

[390]

Следващия път ще се опитаме да дадем

[391]

един реален пример от живота, когато това има смисъл.

Most Recent Videos:

WE KILLED 6 HEROIC BOSSES! - YouTube

¿Quién inventó el dinero? - YouTube

Cuándo se inventó el dinero y cómo el dólar se convirtió en la principal moneda del mundo - YouTube

This Citizenship Program is Failing - YouTube

Candida Treatment Protocol w/ Dr. DiNezza - YouTube

$500M investor reacts to Real Estate Tik Toks 2 - YouTube

You can go back to the homepage right here: Homepage