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Exponential growth functions | Exponential and logarithmic functions | Algebra II | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
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In diesem Video
möchte ich euch die Grundidee von Exponentialfunktionen
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näherbringen und einfach zeigen,
wie schnell
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diese Dinger wachsen können.
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Also, schreiben wir mal eine Exponentialfunktion
als Beispiel auf.
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Nehmen wir an
y ist gleich 3 hoch x .
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Aufgepasst, NICHT x hoch 3, sondern
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3 HOCH x.
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Unsere unabhängige Variable x
ist der eigentliche Exponent.
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Also - machen wir eine Tabelle ,
um zu sehen , wie schnell diese Sache wächst.
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Vielleicht zeichnen wir sie gleich auch.
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Also, nehmen wir mal ein paar werte für x an.
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Fangen wir an mit
x ist gleich minus 4.
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Dann machen wir weiter mit minus 3,
minus 2, dann 0, 1, 2, 3, und 4.
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und jetzt finden wir heraus, was die y- Werte sein werden, die
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zu den jeweiligen x-Werten passen.
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Also, hier wird y
3 hoch minus 4 sein,
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was dasselbe ist wie 1/3 hoch 4.
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3 hoch 3 ist 27, wieder mal drei ergibt 81.
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Also, ist das gleich 1/81, ein Einundachtzigstel.
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Wenn x gleich minus 3 ist, ist y gleich 3.
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Wir machen das lieber in einer anderen Farbe.
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Die Farbe ist nämlich schwer zu lesen.
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y ist gleich 3 hoch minus 3.
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Naja, das ist ein Drittel hoch 3,
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das ergibt 1/27, ein Siebenundzwanzigstel.
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Also kommen wir von einer
richtig kleinen Zahl
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zu einer weniger "richtig kleinen" Zahl.
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Dann kommt 3 hoch minus 2,
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das ist gleich 1/9, richtig?
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1/3 zum Quadrat,
und dann haben wir 3 hoch 0,
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was 1 ergibt.
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Also es wird ein bißchen größer,
noch ein bißchen größer,
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aber wir werden sehen,
daß das gleich explodiert.
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Gut, wir haben 3 hoch 1,
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das ist gleich 3.
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Und wir haben 3 hoch 2, also
y ist gleich 3
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hoch 2.
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Das macht 9.
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3 hoch 3, 27.
[117]
3 hoch 4, 81.
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Wenn wir jetzt hoch 5 nehmen, 243.
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Skizzieren wir das, um eine Ahnung zu bekommen,
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wie rasch das explodiert.
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Ich zeichne hier meine Achsen.
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Ich zeichne hier meine Achsen.
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Hier ist also meine x-Achse
und das ist meine y-Achse.
[137]
das ist meine y-Achse.
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Ich mache das hier jetzt in EInheiten von 5. weil
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ich wirklich etwa die Form von dieser
Kurve haben möchte.
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Ich versuche, so gerade wie möglich
zu zeichnen.
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Sagen wir hier ist 5, 10, 15
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Hm, so komm ich eher nicht bis 81.
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Ich will ja 81 erreichen.
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naja, das ist gut genug.
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Ich zeichen es doch ein bißchen
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anders als ich es jetzt
gezeichnet habe.
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Ich zeichne es hier unten,
weil doch, wie ihr vielleicht merkt,
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eh alle Werte positiv sind, weil ich eine
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positive Basis habe.
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Gut, ich zeichne das jetzt so.
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Gut genug.
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Jetz sagen wir hier ist
10, 20 , 30, 40, 50, 60 , 70, 80.
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Das dort ist also 80.
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Hier ist 10.
[189]
Das ist 30.
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Das brauchen wir, um den
Wert gut zu schätzen.
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und dann sagen wir
hier ist minus 5.
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Und das ist plus 5,
genau da.
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Ich werde das besser auch
noch ein bißchen strecken.
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Sagen wir hier ist minus 1, minus 2, minus 3
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und minus 4
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dann kommt 1, 2, 3 und 4.
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wenn x gleich 0 ist,
haben wir hier gleich 1,
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also, wenn x gleich 0 ist, ist y gleich 1,
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was in etwa da ist.
[223]
Wenn x gleich 1 ist,
ist y gleich 3,
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was in etwa da ist.
[228]
Wenn x gleich 2 ist,
ist y gleich 9,
[231]
was in etwa da ist.
[232]
Wenn x gleich 3 ist,
ist y gleich 27,
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was in etwa da ist.
[239]
Wenn x gleich 4 ist, ist y gleich 81.
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Man sieht sehr schnell , daß das
einfach explodiert.
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Nähme ich 5, hätten wir 243,
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was nicht einmal mehr auf meinen
Bildschirm passt.
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