🔍
Poisson process 1 | Probability and Statistics | Khan Academy - YouTube
Channel: Khan Academy
[0]
Скажімо, що ви є проектувальником
шляхів і вам
[3]
треба з’ясувати скільки автівок проходить
крізь певну
[6]
ділянку вулиці у будь-який конкретний проміжок
часу
[8]
І ви хочете з’ясувати ймовірність того,
[10]
що сотня чи тільки п'ять автівок пройде
за дану годину.
[14]
Отож, гарним початком буде просто
визначити випадкову
[15]
змінну, що по суті являє собою те, що
вас цікавить.
[20]
Отже, скажімо це - кількість автівок, що
проїхали за певний проміжок
[27]
часу, скажімо, за годину.
[31]
І вашою метою є з’ясувати розподіл
ймовірності
[34]
цієї випадкової змінної і коли ви вже
знатимете цей розподіл
[37]
ймовірності, тоді ви зможете з’ясувати
чому дорівнює
[39]
ймовірність того, що 100 автівок проїдуть
або ймовірність того,
[41]
що жодної автівки не проїде протягом
години і ви будете невпинні.
[45]
Трохи відхиляючись від теми, просто аби
заглянути наперед
[48]
цього відео, є два припущення
які нам слід зробити,
[50]
оскільки ми збираємося вивчати розподіл
Пуассона.
[52]
І відповідно до вивчення цього нам слід
зробити
[54]
два припущення:
[54]
Перше - що жодна година на цій ділянці
вулиці не відрізняється
[58]
від будь-якої іншої години.
[59]
І ми знаємо, що це ймовірно хиба.
[61]
Протягом однієї години пік у
справжньому житті ви, ймовірно,
[63]
матимете за цю годину більше автівок,
ніж протягом інших годин.
[66]
І ви знаєте, якщо ви бажаєте бути більш
реалістичними, то, можливо,
[68]
варто робити це для доби, а не години,
оскільки за добу проходить будь-який період часу...
[72]
насправді, ні.
[72]
Я не маю робити це для доби.
[74]
Ми маємо припустити, що кожна година
є цілковито такою самою,
[77]
як і будь-яка інша година і, насправді,
навіть протягом цієї години
[79]
немає насправді жодної відмінності
між різними періодами щодо
[82]
даної ймовірності, що з’явиться автівка.
[85]
Це, певного роду, спрощуюче припущення, яке,
[87]
можливо, й не буде реалістичним для
справжнього дорожнього руху,
[89]
але ми гадаємо, що ми можемо зробити
таке припущення.
[92]
А тоді іншим припущенням, яке нам слід
зробити, буде
[94]
низка автівок, які проїжджають протягом однієї
години, то це не означає, що
[96]
наступної години проїде менше автівок.
[97]
При цьому, немає жодного такого способу,
згідно якого кількість автівок, що
проїжджає
[100]
протягом одного періоду часу впливатиме
якимось чином на кількість автівок
[104]
що проїзджатиме протягом наступного
періоду часу.
[106]
Ці події є цілком незалежними.
[107]
Маючи ці припущення, тепер ми в змозі,
принаймні, спробувати використати наші
[110]
навички аби змоделювати певний тип
розподілу.
[113]
Першою річчю, яку ми зробимо і я радив
робити це для будь-якого
[115]
розподілу, це буде оцінка даного
середнього значення.
[119]
Давайте зупинимось на цьому узбіччі та
виміряємо чому дорівнює ця змінна
[123]
протягом низки годин, а тоді знайдемо
середню величину цього, а це буде
[125]
доволі гарною оцінкою для даного
справжнього середнього значення
[128]
нашої загальної сукупності.
[129]
Або, оскільки це випадкова змінна,
це очікувана величина
[132]
цієї випадкової змінної.
[133]
Скажімо, ви зробили це і отримали вашу
найкращу оціку даної
[136]
очікуваної величини для цієї випадкової
змінної... я використаю
[142]
літеру лямбда.
[144]
Це могло б бути 9 автівок за годину.
[147]
Ви сідили тут... Це могло бути 9,3 автівки
за годину.
[150]
Ви просиділи тут понад сотню годин і
просто рахували
[152]
кількість автівок кожної години і ви
знаходили при цьому їх середню кількість.
[154]
Ми сказали, що всередньому це 9,3 автівки
за годину і ми
[157]
вважаємо, що це доволі гарна оцінка.
[158]
Отож, ось що ми маємо тут.
[160]
І давайте гляньмо, що ми можемо зробити.
[162]
Ми знаємо двочленний розподіл.
[165]
Двочленний розподіл каже нам, що дана
очікувана величина для
[170]
випадкової змінної дорівнює кількості
випробувань, з яких ця
[175]
випадкова змінна певним чином
складається, правильно?
[177]
Раніше, у попередніх відео ми рахували
кількість
[179]
лицьових боків при підкиданні монети.
[180]
Отож, це могла б бути кількість підкидань
монети помножена
[183]
на ймовірність успіху при кожному
підкиданні.
[187]
Це те, що ми робили при двочленному
розподілі.
[189]
Отож, можливо, ми зможемо змоделювати
наш випадок з дорожнім рухом
[191]
якимось схожим чином.
[192]
Це дана кількість автівок, що проїзджають
за годину.
[195]
Отож, можливо ми могли б сказати, що
лямбда автівок за годину дорівнює...
[202]
я не знаю.
[206]
Нумо зробимо так, щоб кожен дослід або
кожне підкидання монети дорівнювало
[209]
тому, що автівка проїжджає повз протягом
даної хвилини.
[211]
Отож, у годині є 60 хвилин, отож має
[217]
бути 60 випробувань.
[220]
А тоді, ймовірність, що ми матимемо успіх
при кожному
[223]
з цих випробувань, якщо б ми
змоделювали це як двочленний розподіл,
[226]
могла б дорівнювати лямбда поділити
на 60 автівок за хвилину.
[234]
І це - могла б бути ймовірність.
[235]
Це могло б бути n, а це могло бути даною
ймовірністю, якщо б нам сказали,
[238]
що це - двочленний розподіл.
[240]
І це, ймовірно, було б не таким вже й
поганим наближенням.
[244]
Якщо б ми, насправді, сказали, що
це - двочленний
[246]
розподіл, то ця ймовірність
нашої випадкової
[250]
змінної дорівнює певній величині k.
[252]
Ви ж знаєте, ймовірність, що 3 автівки,
саме 3 автівки проїжджають
[256]
протягом даної години, це могло б тоді
дорівнювати n.
[259]
Отож, n могло б бути 60.
[261]
Обираємо при цьому k автівок, отож,
я маю 3 автівки помножити
[266]
на ймовірність успіху.
[267]
Отож, це ймовірність, що проїде автівка
протягом будь-якої хвилини.
[269]
І це буде лямбда поділити на 60 у
степені рівній кількості
[274]
успіхів, які нам треба.
[275]
Отож, у k-тому степені, помножити на
ймовірність неуспіху або
[281]
що не проїде жодна автівка і це у
степені n мінус k.
[286]
Якщо ми маємо k успіхів, то ми маємо
60 мінус k хиб.
[290]
При цьому є 60 мінус k хвилин за які жодна
автівка не проїзджає.
[292]
Це, насправді, буде не таким вже й поганим
наближенням
[295]
де ви матимете 60 проміжків і скажете,
що це - двочленний
[297]
розподіл.
[298]
І, можливо, ви й отримаєте обґрунтовані
результати.
[300]
Але тут криється суттєва проблема.
[302]
У цій моделі ми моделюємо це як
двочленний розподіл,
[306]
що ж відбудеться якщо більше ніж одна
автівка проїде протягом години?
[309]
Або більше ніж одна автівка проїде
протягом хвилини?
[311]
Зараз же ми визначаємо успіх, якщо одна
[314]
автівка проїзджає протягом хвилини.
[315]
І якщо ви певним чином прораховуєте це, то
це рахується як один успіх, навіть
[318]
якщо 5 автівок проїдуть протягом хвилини.
[321]
Зрештою ви скажете: "Гаразд, Сале. Я знаю
як вирішити це.
[323]
Я маю обрати більш дрібні
проміжки."
[326]
Замість розподілу цього по хвилинах,
[328]
чому б не розподілити це по секундах?
[331]
Зрештою,ймовірність того, що я матиму k
успіхів... замість 60 проміжків
[336]
я зроблю 3600 проміжків.
[339]
Ймовірність k успішних секунд, тобто
секунд
[343]
коли проїжджає автівка з-поміж усіх
3600 секунд.
[348]
Тобто з усіх 3600 обирають k помножити на
ймовірність того, що автівка
[352]
проїде будь-якої даної секунди.
[355]
Це - очікувана кількість автівок за годину
поділити
[357]
на кількість секунд у годині.
[360]
Ми збираємося отримати k успіхів.
[363]
А це є хиби, ймовірність хиби
[366]
і ми матимемо 3600 мінус k хиб.
[372]
І це буде навіть краще наближення.
[373]
Це, насправді, буде не так вже й погано,
але все ще ви матимете цей
[376]
випадок коли 2 автівки можуть
проїхати
[379]
протягом півсекунди кожна.
[379]
І ви скажете: "Гаразд, Сале. Я бачу цю
систему тут."
[381]
Ми просто маємо брати все більш і більш
дрібні проміжки.
[383]
Ми просто маємо робити цю кількість
все більшою,
[386]
і більшою, і більшою.
[387]
І це інтуїтивне розуміння є правильним.
[388]
І якщо ви зробите так, то закінчиться це
усе тим, що ви отримаєте
[391]
розподіл Пуассона.
[393]
І це, насправді, є цікаво, оскільки багато
разів
[395]
вам дають формулу для розподілу
Пуассона і ви
[398]
можете просто вставити
ці числа і використати формулу.
[400]
Але важливо знати, що це, насправді,
просто двочленний
[403]
розподіл і цей двочленний розподіл
походить
[405]
з певного роду загального розуміння
наслідків підкидання монети.
[408]
Ось звідки усе це походить.
[410]
Але перш ніж ми доведемо це, якщо
ми візьмемо дану межу як...
[413]
(зміню кольори)
[415]
Перш ніж ми доведемо це, ми візьмемо
дану межу як це число ось тут,
[418]
це число проміжків, що прямує до
нескінченості,
[421]
щоб це стало нашим розподілом Пуассона.
[424]
Я збираюся переконатися, що ми маємо
двійко математичних
[427]
знарядь напоготові.
[429]
Отож, першим буде те з чим ви вже
ймовірно доволі добре
[432]
знайомі, але я просто бажаю переконатися
що
[435]
дана межа, коли х прямує до нескінченості
1 плюс а/х у степені х
[445]
це дорівнює е у степені ах...ні, вибачте.
[451]
Це дорівнює е у степені а і тепер я просто
доведу це вам,
[458]
давайте підставимо тут щось.
[459]
Скажімо, що n дорівнює, наприклад,
[463]
1 поділити на n дорівнюватиме а поділити
на х.
[467]
А тоді чому дорівнюватиме х?
х дорівнюватиме na.
[472]
х помножити на 1 дорівнює n помножити
на а.
[475]
Отже, дана межа, коли х прямує до
нескінченості,
[480]
до чого ж прямує а?
[482]
а... вибачте.
[482]
Коли х прямує до нескінченості, тоді
до чого прямує n?
[484]
n це х поділене на а.
[487]
Отож n також буде прямувати до
нескінченості.
[488]
Тож ця річ не зміниться, оскільки я просто
зробив
[490]
таку підстановку, що дана межа коли
n прямує до нескінченості
[496]
1 плюс... а/х, я зробив підстановку 1/n.
[501]
А х це, згідно цієї підстановки, це n
помножене на а.
[506]
І це буде такою самою річчю, що й
дана межа, коли n
[510]
прямує до нескінченості, 1 плюс 1/n у
степені n,
[516]
і усе це у степені а.
[519]
І оскільки тут немає жодного n, то ми
могли б просто знайти цю межу
[521]
цього і тоді піднести це до степеня а.
[523]
Отож, це буде дорівнювати даній межі,
коли n прямує
[527]
до нескінченості, 1 плюс 1/n у
n-му степені,
[532]
і усе це у степені а.
[533]
І це є нашим визначенням або одним зі
шляхів дістатися е, якщо ви
[538]
дивилися наші відео про складні відсотки
і усе таке.
[540]
Ось як ми дісталися е.
[541]
І якщо ви спробуєте це на вашому
калькуляторі, просто спробуйте збільшувати
[543]
і збільшувати n тут і ви отримаєте е.
[547]
Ця внутрішня частина дорівнює е,
і ми збільшили її до степеня а,
[552]
отож це дорівнює е у степені а.
[554]
Тож, сподіваюся, що ви цілком задоволені
тим, що ця межа
[556]
дорівнює е у степені а.
[557]
А тепер ще одне знаряддя, яке я прагну
мати напоготові,
[559]
і я, насправді, можливо, зроблю це
доведення у наступному відео.
[562]
Іншим даним знаряддям є усвідомлення
того, що х факторіал поділити на
[572]
х мінус k факторіал дорівнює х помножити
на х мінус 1 помножити
[582]
на х мінус 2 і так далі аж до помножити
на х мінус k плюс 1.
[590]
І ми робили це багато разів, але це є
[591]
найбільш абстрактним з усього будь-коли
записаного нами.
[593]
Я можу надати вам двійко... і просто щоб
ви розуміли,
[595]
це буде саме k складові тут.
[597]
1, 2, 3... Отож перша складова, друга
складова і так
[601]
далі аж до цієї k-тої складової.
[604]
І це дуже важливо для даного виведення
формули
[607]
розподілу Пуассона.
[609]
Але просто аби втілити це у дійсних
числах, якщо я маю 7 факторіал
[613]
поділити на 7 мінус 2 факторіал, то це
дорівнює 7 помножити на 6 помножити
[620]
на 5 помножити на 4 помножити на 3
помножити на 2 помножити на 1.
[624]
Поділити на 2 помножити... ні, вибачте.
[627]
7 мінус 2 це 5.
[628]
Отже поділити на 5 помножити на 4
помножити на 3 помножити на 2
помножити на 1.
[633]
Це скорочується і ви отримуєте просто
7 помножити на 6.
[637]
Отже, це 7 і тоді ця остання складова
це 7 мінус
[640]
2 плюс 1, що дорівнює 6.
[647]
У цьому прикладі, k було 2 і ми мали
саме 2 складові.
[651]
Отож, оскільки ми знаємо ці дві речі, то
тепер ми готові
[653]
вивести формулу розподілу Пуассона та
[655]
я зроблю це у наступному відео.
[658]
Невдовзі побачимося.
Most Recent Videos:
You can go back to the homepage right here: Homepage