e to the pi i for dummies - YouTube

لقد قمنا مؤخرًا بعمل فيديو على الأكثر هوية غامضة وجميلة في

الرياضيات

ه إلى pi i تساوي ناقص واحد. يأتي ثلاث مرات في عائلة سمبسون

مما يجعلها أكثر بالطبع مهم. الآن،

بعد ذلك تحدى بعض الناس لي الخروج مع تفسير أنه حتى

يمكن أن يفهم هومر ولقد تم مؤلمة بالفعل على هذا منذ ذلك الحين.

واليوم أريد أن أفعل ذلك فقط ، أريد لشرح

ه إلى pi يساوي ناقص 1 إلى شخص مثل هوميروس. حسنا ، شخص مثل هوميروس

الذين لا يستطيعون سوى الجمع والطرح ، الضرب والقسمة.

لذا ، علينا أن نذكره أو نقول له شيئان. الأول هو أنني هذا

رقم الجذر التربيعي المعقد رقم -1

ط مربع هو -1. الشيء الثاني هو فقط نوع من التذكير. إذا كنت قد حصلت على

نصف دائرة نصف قطرها 1 ثم طول نصف دائرة هو بي.

حسنًا ، ضع في اعتبارك هذين الأمرين ، نحن يجب أن تستخدمها في وقت لاحق.

أول شيء يجب أن أشرح له هوميروس ما هو ه. لذلك أفعل ذلك أنا

أعطه دولار وأخبره "اذهب إلى بنك ". لقد رتبت الآن مع المدير هنا

لمنحه فائدة 100 ٪ على مدى عام ، حسنا.

ما الذي يحدث لهذا الدولار واحد عندما يضعها هوميروس؟

حسنا بعد عام واحد لديه 1 + 1 = 2 دولار.

الآن هذا ليس أفضل ما يمكنك فعله بنسبة 100٪

الفائدة ، يمكنك أن تفعل أفضل إذا تجد بنكًا أفضل. ووجدنا

بنك أفضل، البنك الثاني سبرينغفيلد. في البنك الثاني من

سبرينجفيلد أنها حساب والائتمان الفائدة مرتين في السنة. لذلك بعد ستة أشهر

ماذا حدث؟

تحصل على خمسون بالمائة على ما لديك هناك. إذن ، هذا هو 50 سنتا يعطي 1.5 دولار.

الآن ستة أشهر أخرى تمر.

نصف 1.5 هو 0.75 ، لذا يجب عليك إضافة ذلك إلى 1.5 ويمنحك 2.25. وهذا ما

عندك

في نهاية العام إذا كنت تحسب والائتمان مرتين. الآن ، في البنك الثالث

من سبرينجفيلد يفعلون ذلك ثلاث مرات.

وذلك ما لم تحصل عليه؟ بعد اربعة اشهر انت الحصول على ذلك ، بعد

ثمانية أشهر تحصل عليه وفي النهاية من السنة

لديك هذا ، حتى أكثر من ذلك.

وفي الواقع ، من السهل جدًا معرفة ذلك من الصيغة العامة لهذا.

حسنا ربما

لا يستطيع هومر القيام بذلك ، لكن يمكنني فعل ذلك. وبالتالي هذا واحد هنا ويمكنك على الأرجح

افعل ذلك أيضًا إذا كنت تشاهد هذا الفيديو.

إذن ، إنها (1 + 1 / n ^ n. إذاً ، إذا كنت قد حصلت على رصيد n من المرات

على مدار العام

هذا هو كم من المال لديك في نهاية السنة. دعونا فقط التحقق من هذا ل

أبسط الحالات 2 و 2.25. إذن بالنسبة إلى n = 1 ، لدينا 1 + 1 = 2

هم 2 - حسنا.

1 + 1/2 = 1.5 تربيع هو 2.25 ، حسنا ، يعمل.

حسنا ، يعمل بشكل عام. الآن ، هذا حقا خبر جيد ولكن ربما ما تعتقده الآن ،

يعتقد هومر بالتأكيد أن هذا هو: حسناً ، أقسم أكثر وأحصل على المزيد من المال. وبالتالي،

إذا قمت بتقسيم ما يكفي ربما أحصل على تريليون دولار في نهاية العام.

للأسف هذا لا يعمل.

لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كنت تقسم في 125 أجزاء تحصل على هذا القدر من المال في النهاية

من السنة ، أو لديك الكثير من المال في نهاية السنة.

الآن ، إذا قمت بنقل ما يحدث حسنا ، هذا الرقم يرتفع لكنه يرتفع

ببطء شديد ويستقر في الواقع رقم. لذلك ، إذا دفعنا كل شيء إلى

ما لا نهاية،

خذ الحد من هذا ، نحصل على هذا الرقم هنا: 2.718 ...

دولار وهذا هو الحد الأقصى المطلق ، هذا "يضاعف الفائدة باستمرار" ،

هذا ما هو عليه ، لذلك لا يمكننا القيام به أفضل من هذا،

هذا ه. وهذا أيضًا هو المكان الذي تظهر فيه للمرة الأولى

تاريخيا ، بالضبط هذا النوع من النظر ، حسنا. رائع

الآن لدينا ه. نحن على استعداد للتحرك. e ^ (pi i). حسنا ، ليس بهذه السرعة. دعونا فقط

الذهاب إلى e ^ pi first وهو في الواقع تقريبا غامضة مثل البريد ل

the pi i. لماذا هذا؟ حسنا انها حصلت على اسم خاص

يطلق عليه ثابت Gelfond وفي النهاية سأقوم بالتأكيد بعمل فيديو

هذا ، ولكن فقط لهذا اليوم

فقط التأمل قليلا. ماذا هل هذا يقول في الواقع. حسنا ، هذا ما يقوله غريب

عدد لقوة غريب آخر رقم

وأنت من المفترض أن تحسب هذا. ماذا هل تحسب شيئًا كهذا؟ أعطي

لك على قطعة من الورق و ليس لديك آلة حاسبة.

هذا غريب.

أعتقد أنه لن يتمكن أحد من القيام بذلك. حسنًا ، سيكون قابلاً للتطبيق إذا كانت pi متساوية

إلى 3 لأننا نعرف أننا فقط يجب أن تتكاثر ،

أنت تعرف ، ربما قطعت هنا (على النقاط) ، ثلاث مرات معا ونحصل

تقريب تقريبي لما نحن عليه البحث عن. لكن ، لا ، لدينا هذا هنا.

لذلك نحن حقا نريد حساب هذا ،

نريد أن نعرف حقا لبعض الغريب السبب

كم من المال لديه هوميروس بعد بي سنوات إذا كنت تضاعف الفائدة

بشكل متواصل.

هذا ما أريد معرفته ، لا أستطيع الذهاب للنوم الليلة إذا كنت لا أعرف.

حسنا ، الآن الحيلة هنا ، لقد حصلنا على هذا قليلا هنا ، الأمر الذي يقربنا أقرب إلى e

كلما كبرنا فوق ن.

حسنا ، لذلك إذا وضعت هذا واحد هنا و ضع رقم كبير هنا نحصل عليه

الشيء الصحيح ، أو ما يقرب من اليمين شيء ، أو أقرب إلى اليمين كما نحن

تريد.

حسنا الآن يبدو هذا جميلا فظيعة ، حسنا ، و ، حسنا ، دعونا نفرق حول

قليلا معها.

لذا ، أول شيء نفعله هو نحن

اضرب pi هنا وهناك ، و نرى عند القيام بذلك على القمة و

الأسفل

من الواضح أن لا شيء يتغير ويبدو في الواقع أقبح قليلا من ذي قبل. لكن ما هو لطيف

هو أن هاتين الببتين هما نفس الشيء ، كما تعلم ، ما عليك القيام به الآن

للحصول على هذا هو فقط لرفع الصوت قليلا في الصندوق.

لذلك ن = 1 لدينا هذا ، ن = 2 نحن لديك ذلك ، وبعد ذلك ، و .... هذا لا يزال

مريعة جدا !

باستثناء ما هو مهم حقا هنا ، و هذه خدعة رائعة حقًا ،

ما هو ضروري حقا هنا ، هذا ونحن في طريقنا حتى.

لا يهم كيف نرتفع ، كما طالما نحن بصدد نحو اللانهاية ،

يمكننا الصعود عن طريق أرقام لطيفة: 1 ، 2 ، 3 ، ...

هذا سيصلنا أيضًا هناك ، وهذا في الواقع ما نقوم به وهذا هنا

بالضبط ما نبحث عنه. إذن هنا انها مثل فظيعة حقا لقوة

فظيعة ، لكننا الآن قد وصلنا للتو ، القسمة والضرب

هذا كل ما علينا القيام به ... فقط لكن هذا كل ما يجب علينا فعله

لذلك نحن نصل الى هناك.

وبالطبع ، فإن pi هنا تعني حقا أي رقم على الإطلاق.

إذن ما فعلناه هو في الواقع لقد اكتشفنا كيف نحسب

وظيفة اسية مع اساسا لا شيء ، مع هذا فقط.

هذا ما اكتشفناه للتو ، إنه جهد جيد جدًا.

حسنا ، لذلك دعونا الرسم البياني هذا (ه ^ س) و اثنين من هؤلاء الرجال (الوظائف على اليمين) ونرى ما

يحدث.

لذا فقد قمت برسم الوظيفة الأسيّة وأنا رسمت أول واحد من هؤلاء الرجال ،

حسناً ، النقطة الثانية حيث نأخذ m = 2.

لا تناسب جيد بشكل رهيب ولكن إذا كنت كرنك يصل م

يمكنك حقا رؤية مدى جودة هذا يحصل. وفي الواقع ، عندما تضغط ، كما تعلمون ،

الزر على الآلة الحاسبة وهذا ما الآلة الحاسبة الخاصة بك على مستوى ما.

يضيف فقط ويتكاثر ويقسم وهذه الأنواع من الأشياء. هذا كل ما

يمكن القيام به. أي شيء ، أي شيء معقد الرياضيات ، كما تعلمون ، عندما تفعل ذلك عدديا

يجب أن يتم تخفيضه إلى مجرد الأساسية علم الحساب

وإلا فإنه لا يعمل. حسنا هنا نحن اذهب.

تقريبا هناك الآن. مجرد ظرف في pi i الخاص بك ، هذا ما نحن مهتمون به ، ونذهب

لذلك. وفي الواقع يمكن أن نذهب لذلك في هذه المرحلة. انها في الواقع ليست صعبة للغاية

لضرب أشياء كهذه.

حسنا ، هذا هو في الأساس رقم مركب في هنا ، لذلك لدينا رقم جيد بالإضافة إلى

عدد لطيف مرات أنا. انها في الواقع ليست من الصعب ضرب أ

اثنين من هذه الأشياء معا أستطيع يعلمك في الثانية في الواقع أنا ذاهب

ليعلمك في الثانية.

دعونا نفعل ذلك على Mathematica ونرى ما يبث ماثماتيكا.

إذن ، بالنسبة إلى m = 1 ، نحصل على هذا الرقم ، إنه أيضًا رقم مركب. لا

يهم ما وضعت هناك ،

لا يهم ما هو ، والنتيجة هي ستكون دائمًا رقمًا معقدًا. وبالتالي،

دعنا نطفئها الآن

كرنك عنه ، كرنك عنه ، كرنك عنه ، كل شيء الطريق إلى ... ماذا فعلت ، مائة.

ويمكنك أن ترى أن هذا الجزء الأول هنا يصبح أقرب وأقرب إلى -1 و

الجزء الثاني هنا ، هذا لطيف رقم أمامي يذهب إلى 0. هكذا

أساسا الجزء القبيح يذهب بعيدا و تركت مع -1 إذا كنت لطفاء

من الذهاب إلى ما لا نهاية. يمكننا التوقف هنا ، لكن في الواقع لقد حصلت على هذا حقا ، حقا

طريقة لطيفة لضرب الأرقام المركبة التي يمكننا تطبيقها على هذا الأمر ، وضرب الأرقام المعقدة مع مثلثات.

دعني أريكم فقط

حسنا حتى هنا نذهب. الآن الأرقام المركبة التي يمكنك رسمها.

الأرقام الحقيقية التي يمكنك رسمها على خط الأعداد ، الأرقام المركبة التي يمكنك رسمها في الطائرة xy-plane.

في الواقع هوميروس يقف على حق أعلى الطائرة س ص لذا قد نكون كذلك

استخدامه ويمكنه حقا أن تتصل به في هذه النقطة في الوقت المناسب.

لذلك هنا لدينا خط الرقم الحقيقي هناك 0 ، هناك 1 ، هناك 2 ، وهلم جرا. وكذلك ، لقد قمنا بذلك

مدد هذا الخط الحقيقي من قبل المجمع طائرة. إنه فقط كل هذا.

كل رقم مركب يتوافق مع أشر هنا. على سبيل المثال ، 1.5 + i فقط

النقطة التي تذهب إليها 1.5 هنا المحور السيني ثم واحد في اتجاه

العمودي. ثم هذا الرجل هنا ، على سبيل المثال ، 1 + 2i. حسنا ، 1 من هنا

ثم 2 وحدة لأعلى.

حسنا ، الآن ضرب هذين الأمرين سويا.

إذن ماذا نفعل؟ حسنا ، نحن نفعل 1 × 1.5 هو 1.5 ثم 1 xi is i. 2i x 1.5 هو 3i

ثم آخر واحد

هذا هو المكان الذي علينا أن نتذكره أن يساوي مربع يساوي -1 ، لذلك

هذا هو -1 × 2 هو -2.

الآن نحن فقط نجمع الأشياء معا في طريقة واضحة ، لذلك هناك وهناك وهذا

المنتج. وبطبيعة الحال ، هذا يتوافق مع نقطة ، هذا الرجل هناك.

حسنا كيف يمكنك الوصول من هنا إلى هناك؟ ليس واضح ، صحيح ، يمكننا القيام بذلك ، ولكن يمكنك ذلك

انظر في الواقع في لمحة ، يمكنك أن ترى في لمحة أن هذين الرجلين ينقلكما

هناك. ماذا؟ مع مثلثات!

حسنا ، حتى كل نقطة ، إلى كل مجمع عدد ربطنا مثلث و

الزوايا هي 0 ، 1 وهذه النقطة هنا.

هذا هو المثلث الأول. دعونا فقط احفظها.

المثلث الثاني 0، 1، نقطة.

الآن نحن محاذاة لهم

هكذا ، تمد هذه واحدة ، الحمراء ، بحيث هذان الجانبان هما نفس و

هناك منتجك

رائع أليس كذلك. لذلك أنت فقط من النوع ألين وتمتد هذه المثلثات وأنت

اعرف ماذا يحدث. وفي الواقع إذا أنت تعرف المثلثات

من السهل التنبؤ بمكان المنتج سيكون. دعونا نفعل آخر

مثال. دعونا نفعل هذا واحد هنا المربعة. إذن ما تفعله للتربيع هو

هذا المثلث مرتين.

طيب تمتد ، هذا هو المربع. الآن،

التكعيب ونحن لدينا أعلى القوى لذلك نحن بحاجة لمعرفة ما يحدث

هنا ، فقط قم بعمل مثلث آخر ، مده،

هذا هو مكعب هذا الرقم هنا.

حسنا الآن القوى أعلى. هذا هو طائرة معقدة. للقوى العليا هذا

دائرة هنا ، دائرة الوحدة ، الدائرة من دائرة نصف قطرها 1 ، حوالي 0 يلعب جدا

دور خاص جدا.

لماذا هذا؟ حسنا هنا هو رقم مركب على وحدة الدائرة. المثلث ذلك

يتوافق مع وجود جانبين متساويين ، هناك وهناك. لذلك ، عند محاذاة اثنين من هذا القبيل

مثلثات

ماذا حدث؟ حسنا ليس عليك أن تمد ، صحيح.

دعونا نرى ما يحدث عندما أكون نوعًا ما رفع هذا لقوة 8 ... الطاقة 2 ، 3rd

السلطة ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 8. هذا هو الثامن قوة هذا الرجل هنا.

لذا فإن هذه القوة الحلزونية ، أو ما تريد أن تسميها ، هي مجرد التفاف حول دائرة الوحدة.

لذلك لا يهم مدى قوة عالية اخترت ، سوف ينتهي بك المطاف

في مكان ما هنا على هذه الدائرة.

وماذا يحدث عندما تتحرك هذا الرجل هنا خارج دائرة الوحدة؟

دعنا فقط ننتقل إلى الداخل لذلك نحن نتحرك في الداخل ، ماذا نحصل؟ حسنًا ، نحصل على هذا الجميل

حلزوني هنا ، نوع من التصاعد الداخلي. و، في الواقع ، للذهاب أعلى وأعلى يذهب

أقرب وأقرب إلى 0.

إذا نقلنا هذا الرجل خارج ، حسناً دائما ستكون حلزونا ، ولكن

نوع حلزوني من اللوالب خارج. الأساسية الدرس ليأخذ من هذا هو ذلك

كلما اقتربت من دائرة الوحدة كلما اقتربنا من الحلزوني ، ستعمل هذه القوة الحلزونية

التفاف حول دائرة الوحدة. و الآن دعونا نذهب للشيء الحقيقي ، واحد

نحن مهتمون حقا.

حسنا ، هذا الرجل هنا. لذلك هناك المجمع رقم ، هنا في الوسط.

ما هذا؟ حسنا انها 1 أكثر من هنا و عليك أن ترتفع

بي / م لذلك هذا النوع من الذهاب هناك. دعنا نذهب ل m = 3.

حسناً ، دعنا فقط نرسم هذا.

هناك نذهب 1 أكثر من هنا ، بي / 3 حتى هناك ، ومن ثم علينا القيام بالمكعبات ، صحيح.

حتى 3 مرات مثلث نفسه ، التحجيم ، وهكذا على ما فعلناه للتو. وينتهي بنا

هناك.

حسنا. الآن ما الذي سيحدث عندما أجعل هذا أكبر؟

حسنا ، يبقى 1 نفسه. أجعل م أكبر ،

وهذا يعني أن هذا الرقم هنا يحصل .... أصغر ، أليس كذلك؟

هذا يعني أنه سوف يتجول هنا ، سيصبح أقرب وأقرب

إلى هذه النقطة ، وفي الواقع أستطيع أن أصنعها أقرب إلى هذه النقطة كما أريد ، مثل

على مقربة من 1 كما أريد

من خلال جعل م أكبر وأكبر. انها مجرد التجول هنا ، هنا ، هنا.

هذا يعني أن اللولب سيذهب التفاف بالقرب من دائرة الوحدة.

حسناً ، دعنا نفعل ذلك. لذلك ، كرنك حتى 4 ، أربعة مثلثات. الآن كرنك يصل إلى 5 ،

خمسة مثلثات الآن. انها تقترب ، صحيح

5،6 الآن دعونا ندعه يذهب ونرى كيف هذا الرجل هنا

يصبح أقرب وأقرب إلى -1. انها السحر الحقيقي على وشك

يحدث. على استعداد للذهاب للسحر؟

هناك نذهب ، ورفع كل شيء الطريقة. حسنا ليس على طول الطريق ، ما يصل إلى مائة :)

يمكننا أن نرى أنه يقترب بالفعل وأقرب إلى -1 وهي جميلة

واضح لماذا ، أليس كذلك؟

أعني أن الشيء الواضح حتى الآن هو ذلك لأن هذا الرجل هنا يتجول و

أسفل ، فإنه يصبح أقرب وأقرب إلى دائرة الوحدة

يجب أن نحصل على التفاف أقرب وأقرب حول دائرة الوحدة ولكن ليس كذلك

واضح في الوقت الحالي ، ربما ، هو السبب في أننا لا التفاف أكثر أو أقرب. لماذا نحن فقط

الذهاب في منتصف الطريق حولها. ولهذا لديك لتذكر ما قلته في الوقت نفسه

بداية هذا التذكير عن الطول هذا نصف دائرة. ما هو طول

هذا نصف الدائرة مرة أخرى؟

انها بي ، حسنا انها بي. وما هذا؟ هذا هو الجزء mth من بي.

لذلك ، نحن في الأساس نبدأ بالجزء mi هنا ثم نقوم بذلك

هذا م مرات حتى بي / م مرات م هو بي.

لذلك سنختتم في النهاية في منتصف الطريق ، صفعة على ، ونحن في طريقنا للحصول عليه

e ^ (pi i) = -1 وأعتقد أن هذه هي طريقة شرحها.

نأمل،

حسنا لا أعرف عن هوميروس ولكن تعلمون أنتم أيها الأساتذة

من زائد ، ناقص ، multipl ، y وهكذا

حصلت على شيء للخروج منه.